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制御工学その14

4.2 フィードバック制御の安定性



4.2.1 特性方程式

フィードバック制御系において、P(s)とC(s)を分母分子に分けて考える。
つまり

P(s) = N_P(s)/D_P(s)
C(s) = N_C(s)/D_C(s)

ということである。この時外部入力r(s),d(s)からP(s),C(s)の出力y(s),u(s)への伝達関数は

G_yr = P(s)C(s)/1+P(s)C(s) = N_P(s)N_C(s)/D_P(s)D_C(s) / (D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s))/D_P(s)D_C(s)

= N_P(s)N_C(s)/D_P(s)D_C(s) * D_P(s)D_C(s)/(D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s))

= N_P(s)N_C(s)/(D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s))

G_yd(s) = P(s)/1+P(s)C(s) = N_P(s)D_C(s)/(D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s))

G_ur(s) = C(s)/1+P(s)C(s) = N_C(s)D_P(s)/(D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s))

G_ud(s) = -P(s)C(s)/1+P(s)C(s) = -N_P(s)N_C(s)/(D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s))

となる。したがってこれらの分母に注目すれば

前節(図4.3)で扱ったフィードバック制御は、

1+P(s)C(s) = D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s) = 0

である多項式の根の実部がすべて負である場合に、安定である。

さらに、此処で言う安定性は、内部信号(ここではCからP)を含んでいるため
内部安定性と呼ばれる。

問題4.2

(1 P(s) = 1/s-1 , C(s) = 2s+1/s

分解すると

N_P(s) = 1
D_P(s) = s-1
N_C(s) = 2s+1
D_C(s) = s

安定式に掛けると

D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s) = s(s-1) + 2s+1 = s^2 + s + 1

二つの根の実部は-1/2なのでこれは安定

(2)P(s) = 1/(s-1)(s+2) C(s) = 1

分解すると

N_P(s) = 1
D_P(s) = (s-1)(s+2)
N_C(s) = 1
D_C(s) = 1

安定式に掛けると

D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s) = (s-1)(s+2) + 1 = s^2 + s - 1

根は1±sqrt(5)/2で、1


4.2.2 不安定な極零相殺

前の方でも少し述べたが、P(s)とC(s)のあいだで不安定な極と零点が相殺している場合
不安定になる場合がある。

P(s)の不安定極とC(s)の不安定零が相殺している場合

例えば

P(s) = 1/s-1
C(s) = s-1/s+1

の時、特性方程式は

D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s) = (s-1)(s+2)

であり、内部安定ではない。実際、

G_yd = P(s)/(1+P(s)C(s)) = s+1/(s-1)(s+2)

となり、不安定である。


P(s)の不安定零点とC(s)の不安定極が相殺している場合

例えば

P(s) = s-1/s+1
C(s) = 1/s-1

の時、特性方程式は前と同じで(s-1)(s+2)である。

この時も

G_ur = P(s)/(1+P(s)C(s)) = s+1/(s-1)(s+2)

となり、不安定である。

これは、分子分母で分解して考えたとき、相殺しているの部分が伝達関数両方含まれないような場合に起こるのだろうか。

4.2.3 フルビッツの安定判別法

伝達関数が高次であったり、パラメータを含む場合、根を求めるのは難しい。
この時、フルビッツの安定判別法を用いると安定性が判断できる。

特性方程式がn次多項式であったとする。これを

a_n*s^n + a_n-1*s^n-1 + ... + a_0 = 0

ただし、a_n<0の時は、-1をかける。

とすると、制御系が安定化どうかを判断するには以下の2つの条件を満たしていればよい。

(1) 係数a_n が全て正である

(2) n = 2kの時、H(3),H(5)...H(2k-1)が全て正である
  n = 2k+1の時、H(2),H(4)...H(2k)が全て正である

ここでHは行列



H = |a_n-1,a_n-3.a_n-5,...., 0|
| a_n,a_n-2,a_n-4,...., 0|
| 0,a_n-1,a_n-3,...., 0|
| 0, 0,a_n-2,...., 0|
|.........................|
| 0, 0,....., a_2,a0|

の主座小行列式

H(2) = |a_n-1,a_n-3|
| a_n,a_n-2|

H(3) = |a_n-1,a_n-3,a_n-5|
| a_n,a_n-2,a_n-4|
| 0,a_n-1,a_n-3|


の行列式である。

例4.3

垂直駆動アームをフィードバック制御を用いて安定するようにコントローラを設定することを考える。

C(s) = kp*s+ki/s

と考え、kpとkiの値を考える。

垂直駆動アームのθ=0の近傍での伝達関数は

P(s) = 1/(Js^2+cs+Mlg)

である。ここで特性方程式は

D_P(s)D_C(s)+N_P(s)N_C(s) = s(Js^2+cs+Mlg) + kps + ki = Js^3 + cs^2 + (kp+Mlg)s + ki = 0

である。これの安定性を求めると

条件1より、
kp + Mlg > 0
ki > 0

条件2より


H = | c, ki, 0|
| J,kp+Mlg, 0|
| 0, c,ki|


k=1なので

det[H(2)]が正であればいい



H(2)| c, ki|
| J,kp+Mlg|



なので、det[H(2)] = c(kp+Mlg) - ki*J > 0
であればよい。

c>0,J>0なので、条件1と2より

kp > -Mlg
0 < ki < c(kp+Mlg)/J

となるようにパラメータを与えればいいことがわかる。やった!前節の疑問も解決!

問題4.3

P(s) = 5/(s^2+2s+2)

という2次遅れ系の安定性を考える。

(1) C(s) = kpとした時の安定となるkpの範囲を求める。

特性方程式は

s^2+2s+2 + 5kp = s^2 + 2s + (2+5*kp)

フルビッツの安定判別法から
条件1

2+5kp > 0

5kp > -2

条件2から

H = | 2, 0|
  | 1,3+5kp|

k=1より
行列式は

H(1) = 2
となるので条件2は無視

よって求めるkpの範囲は

kp > -2/5

となる。

(2) C(s) = kp*s+ki/s

とすると

特性方程式は

s(s^2+2s+2) + 5(kps+ki) = s^3 + 2s^3 + (5kp+2)s +5ki

条件1より

kp > -2/5
ki > 0

条件2より


H = | 2, 5ki, 0|
| 1, 5kp+2, 0|
| 0, 2,ki|

k=1なので

H(2)の行列式

10kp+4 - 5ki > 0

ならば良い。

kp > 5ki-4/10 = kp > -2/5 + 1/2*ki
ki < 10kp+4/5

よって

kp > -2/5
ki < 10kp+4/5

となる。

まとめ

伝達関数を分子分母に分け、それぞれで各ポイントの出力をみることで、不安定な極零相殺などが示された。
また、分子分母に分けた際、フィードバック制御の各ポイントの分母は等しく、これを特性方程式という。

この特性方程式の根の実部が全て負であれば、安定である。

しかし、特性方程式が必ずしも根を解析的に解けるとは限らない。
そこで、特性方程式の係数のみで安定性を判別できる
フルビッツの安定判別法がある。これは

(1) 係数a_n が全て正である

(2) n = 2kの時、H(3),H(5)...H(2k-1)が全て正である
  n = 2k+1の時、H(2),H(4)...H(2k)が全て正である

ここでHは行列



H = |a_n-1,a_n-3.a_n-5,...., 0|
| a_n,a_n-2,a_n-4,...., 0|
| 0,a_n-1,a_n-3,...., 0|
| 0, 0,a_n-2,...., 0|
|.........................|
| 0, 0,....., a_2,a0|

の主座小行列式

H(2) = |a_n-1,a_n-3|
| a_n,a_n-2|

H(3) = |a_n-1,a_n-3,a_n-5|
| a_n,a_n-2,a_n-4|
| 0,a_n-1,a_n-3|


の行列式である。

というものである。


わからないところ

フルビッツの安定判別法における行列Hの正確な形というか、思想がわからねえ。
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英語その20


§20

contend: 力説する
outer space : (外)宇宙
conduct : 実施する
series of : 一連の
astronomers : 天文学者
assume : (確証はないが)~と考えている

An astronomer assumes that a series of outer space is exist beyond our space.
He contended it and conducted thought experiment.

spontaneous : 自然発生した
applause : 拍手
fund : 基金
preserve : 保護する
equater :赤道
globe : 地球
hemisphere : 半球

A fund to preserve our globe will be greeted by applause.
The spontaneous equater split to hemisphere.

fur : 毛皮の
principal : 主要な
conservation : 保護
be on the verge : ~寸前である
prolonged : 長引く
drought : 干ばつ
crop : 作物

Crops is on the verge of total destruction because prolonged drought.
The initial principal method of making fur is hunting animals of conservation.

carbon dioxide : 二酸化炭素
emission : 排出
call on A to : ~するよう呼びかける
side by side : 協力しあって
curb : 抑制する

We call on people to curb emission of carbon dioxide side by side.

orbit : 軌道

Orbital maneuver is that only last work is good.

制御工学その13

4 s領域での制御系解析・設計



フィードバック制御系を構成するとき、安定性が確保されているか確認しなければならない。
s領域(ラプラス変換後の領域)での安定性の判別を行う方法を調べる。

4.1 フィードバック制御



4,1,1 ブロック線図における結合

伝達関数の基本操作をブロック線図に表すことが出来る。
ここでは図はかけないが、3種類ある。

(1)直列結合

2つの伝達関数を直線上で直接つないでいるものである。

この時、入力をu(s),最初の伝達関数を抜けたあとの入力をv(s),最終的な出力をy(s)とすると

y(s) = P2(s)*v(s)
v(s) = P1(s)*u(s)

P(s) = y(s)/u(s) = P2(s)*v(s) / (v(s)/P1(s)) = P1(s)*P2(s)

とすることが出来る。よって直列結合は伝達関数の積となる。

(2)並列結合

2つの伝達関数が入力を分岐させて与えられ、伝達関数を通過した後に加えあわされるものである。

この時、入力をu(s),伝達関数1を抜けたあとの入力をv(s),伝達関数2を抜けたな出力をt(s)、加えあわされた出力をy(s)とすると



y(s) = v(s)±t(s)
v(s) = P1(s)*u(s)
t(s) = P2(s)*u(s)

P(s) = y(s)/u(s) = P1(s)±P2(s)

となる。つまり、並列結合は伝達関数の加え合わせである。

(3)フィードバック結合

入力に、出力を別の伝達関数に通したものを加え合わせるものである。

この時、入力をu(s),伝達関数1を抜けたあとの出力をy(s),伝達関数2を抜けた出力をw(s)、加えあわされた出力をe(s)とすると

y(s) = P1(s)*e(s)
e(s) = u(s)±w(s)
w(s) = P2(s)*y(s)

から

P(s) = y(s)/u(s) = P1(s)/(1±P1(s)*P2(s))

となる。ただし、ここで伝達関数分母のプラスマイナスは、ブロック線図に定義される加え合わせ点のプラスマイナスと逆である。
つまり、加え合わせ点が正なら、伝達関数分母の計算は負となる。

4.1.2 フィードバック制御系

フィードバック制御のブロック線図に現れる要素は

y(t) = 制御量
u(t) = 操作量
d(t) = 入力外乱
e(t) = 偏差
r(t) = 目標値
P(s) = 制御対象への伝達関数
C(s) = コントローラへの伝達関数

である。

s領域で考える。
ブロック線図において、入力r(s),d(s)と出力y(s)のあいだには


y(s) = P(s)*(d(s) + u(s))

u(s) = C(s)*e(s)
e(s) = r(s) - y(s)

から

y(s) = P(s)*(d(s) + C(s)*(r(s) - y(s)))

つまり

y(s) = P(s)*d(s) + P(s)*c(s)*r(s) - P(s)*c(s)*y(s)

(1 + P(s)C(s))y(s) = P(s)d(s) + P(s)c(s)r(s)

y(s) = (P(s)C(s)r(s) + P(s)d(s))/(1+P(s)C(s))

となる。ここからr(t),d(t)それぞれの伝達関数を求めると
係数をとればいいので

G_yr(s) = P(s)C(s)/(1+P(s)C(s))

G_yd(s) = P(s)/(1+P(s)C(s))

となる。

問題4.1

r(s),d(s)からe(s)への伝達関数

e(s)= r(s) - (P(s)C(s)r(s) - P(s)d(s))/(1+P(s)C(s))

  = (1+P(s)C(s)-P(s)C(s))r(s)/(1+P(s)C(s)) - P(s)d(s))/(1+P(s)C(s))

  = r(s)/(1+P(s)C(s)) - P(s)d(s))/(1+P(s)C(s))

r(s)の係数がG_er(s)なので取り出すと

G_er(s) = 1/(1+P(s)C(s))

G_edも同じように

G_ed(s) = -P(s)/(1+P(s)C(s))

となる。

次に、r(s),d(s)からu(s)への伝達関数を求める。

u(s) = e(s)*C(s) = C(s) * (r(s)/(1+P(s)C(s)) - P(s)d(s))/(1+P(s)C(s)))

よって

G_ur(s) = C(s)/(1+P(s)C(s))

G_ud(s) = -P(s)C(s)/(1+P(s)C(s))

となる。


4.1.3 フィードフォワード制御系

出力が戻ってこないようにすると、フィードフォワード制御系となる。

フィードバックと同じようにr(s),d(s)からy(s)の関係は

y(s) = P(s)*(d(s)+C(s)*r(s)) = P(s)C(s)r(s) + P(s)d(s)

なのでそれぞれの伝達関数は

G_yr = P(s)C(s)
G_yd = P(s)

である。

4.1.4 フィードバック制御の利点

ここで、制御対象となる式

y(t) + T*y'(t) = K*u(t)

が与えられたとする。そして、この出力y(t)を目標量r(t)に追従させることを考える。
制御量の初期値がy(0) = 0のとき、上の式をラプラス変換すると

y(s) + T*s*y(s) = K*u(s)

y(s) = P(s)u(s)からP(s)を求めると、

P(s) = y(s)/u(s) = K/(1+Ts)

となる。

このとき、例えばフィードフォワード系ならT>0で
コントローラの伝達関数を

C(s) = (1+Ts)/K(1+T2s) T2>0

などとおけば、入力r(s)が一定の値つまりステップ入力であるとしてみれば

y(s) = P(s)C(s)u_s(s) = 1/(1+T2s)*u_s(s)

つまりP_c(s) = 1/(1+T2s)

この時の定常値y_∞は最終値の定理よりステップ応答はs→0の値であるので

P_c(0) = 1/1 = 1

となり、これはステップ入力であるr(t)と一致する。

しかし、ここには以下のような問題点がある。

問題点1

パラメータT、Kが一定ならば上のようになるが、これが変動する場合例えば

P'(s) = K'/1+T's T'>0

となる場合は

y(s) = K'(1+Ts)/K(1+T2s)(1+T's)

となり、

y_∞ = K'/K

となるため、目標値の1からだんだんずれていってしまう


問題点2

また、T<0であるばあい、P(s)は不安定極を持つことになる。
そして、この不安定極はC(s)の不安定零点によって相殺されるため、
初期値y(0)が完全に0でない時にy(t)が発散することになる。

詳しく、y(0)を考慮してy(t)の式をラプラス変換すると

L[y(t) + T*y'(t = u(s))] = y(s) + T*(s*y(s) - y(0)) = u(s)

となる。つまり

y(s) = K/(1+Ts)*u(s) + T/(1+Ts)*y(0)

u(s) = C(s)*r(s) = (1+Ts)/K(1+T2s) * r(s)

より

y(s) = 1/(1+T2s)*r(s) + T/(1+Ts)*y(0)

r(s) = u_s(s)として逆ラプラス変換すると

y(t) = 1 - e^(-t/T2) + e^(-t/T)*y(0)

となるため、T<0でかつy(0)が0でないなら発散してしまう。

これにたいし、フィードバック制御なら例えば

C(s) = (kps+ki)/s

とすると

y(s) = P(s)C(s)/(1+P(s)C(s)) = K/(1+Ts)*(kps+ki)/s) / 1+K/(1+Ts)*(kps+ki)/s)

= (K*kp*s+K*ki)/(s+Ts^2) * (s+Ts^2)/(K*kp*s+K*ki+s+Ts^2)

= K(kp*s+ki)/(Ts^2 + (K*kp+1)*s + K*ki)

となる。そのため、分母(Ts^2 + (K*kp+1)*s + K*ki)の根が全て負になるようにKp,kiが選ばれていれば、

y_∞ = 1

となる。また、制御対象のパラメータが不安定であっても

y(t) = P'(s)C(s)/(1+P'(s)C(s))*r(s)

= K'(kp*s+ki)/(T's^2 + (K'*kp+1)*s + K'*ki)

となるので、同じように分母の根が負になるようにパラメータを選べばシステムは安定する。


まとめ

制御構造をブロック図で表すことを学んだ。このとき、伝達関数の結合を一つの伝達関数で表すことが出来る。

直列結合なら積で
並列結合なら和で
フィードバック結合なら P1(s)P2(s)/(1+P1(s)P2(s))という式で

まとめることが出来る。

フィードバック制御とフィードフォワード制御について

フィードフォワード制御のばあい、ある条件を満たすと出力が発散するため、目標値に追従させることが出来ない。
例えばそれは

P(s) = K/(1+Ts)で、y(0)が0でない場合、一見よさそうにみえるコントローラ
C(s) = (1+Ts)/K(1+T2s)を与えても、

T<0の場合、P(s)の不安定極が相殺されているため、y(0)でないときには発散してしまう。

これに対しフィードバック制御なら、最終的な伝達関数の分母の根が全て負になるようコントローラを選べば、発散しない。

そのため、フィードバック制御はフィードフォワード制御に比べて

・パラメータ変動や外乱などの未知動特性に対処できる
・制御対象が不安定でもシステムを安定化できる

という利点がある。

わからないところ

パラメータ変動に対応できるのは式としてわかるが、実際にあらゆるパラメータ変動に対応するようなコントローラは設定できないだろう。
ある程度の変動範囲を見越して大丈夫なようにするのだろうか。

英語その19


§19

please do me a favor : お願いがある
give A a ride to : ~へ乗せてあげる
be tied up : とても忙しい
turn up : 現れる
on time : 時間通りに
punctual : 時間厳守な

Please do me a favor and Turn up on time, I could give you a ride to.
You may be tied up everyday, but you shoud be punctual.

interstate : 幹線道路、州間道路
skid : スリップする
turn over : ひっくり返る
scatter : ばら撒く
load : 荷物

if Your truck skids at interstate, it turns over and scatters its loads.

recall : おもいだす
sheer : 全くの
luck : 幸運
get in touch : 連絡をとる
head : ~に向かう
pull over : 路肩に止める

It's sheer luck that they recalled and headed to get in touch.
Pull over!

rusty : 錆びた
obstruct : 塞ぐ
intersection : 交差点
fine : 細かい
scratch : ひっかき傷
dent : 凹み
it's no use : ~しても無駄
polish : 磨く

To obstruct, It's no use making fine scratches. dents, or so on.
It's not surely that rusty is removed by polishing.

get stuck ;: はまって動かない
get to : ~につく
in time : 時間までに
get a flat tire : パンクした
ambulance : 救急車
como close to : ~しそうになった
pedestrian : 歩行者

I got a flat tire and got stuck in gutter, It's too hard to get there in time.
The other hand amubulance hurried and came close to running over a pedestrian.

制御工学その12

3.5.5 simulinkを利用した時間応答

simulinkはないのでScilabのXcosで代用。

伝達関数

P(s) = 4s+5/s^2+2s+5

に対するステップ応答をシミュレートする。
simulinkが対応していてXcosと違うのはサンプリング時間の設定を行うモジュールがあったりとか。



シミュレート結果




問題3.15

長いけど一個ずつやってみる

(1) P(s) = 3/s+2




(2) P(s) = s+4(s+1)(s+2)




(3) P(s) = 2/(s+1)^2



(4) P(s) = 5/(s^2+2s+5)




まとめ

Scilabでもなかなかできる。
今回は非常に簡単で短い内容だった。ただ、シミュレートやシミュレート内の配線など、はじめての部分がかなり多いし、
自称をざっと見るとブロック図が跋扈しているので触ってみてよかった気がする。

英語その18

§18

A occur to : Aが突然思い浮かぶ
hold ~ back : ~を隠す
patience : 忍耐
give out : 尽きる
swear : ののしる

To swear at him is occur to me so I can't hold back that my patience have gave out.

admin : ~仕方なく認める
quarrel : 口喧嘩
every now and then : 時々
be good terms with : ~と親しい
do you mind if I ~ : ~してもいいですか?
stop by : 立ち寄る

I admired that he stopped by my house.
but we only quarreled yesterday and we are not good terms with each other.

Do you mind if I listen to your talk every now and then?

hang up : 電話を切る
put ~ up : 泊める
drop in : 立ち寄る
pace : 歩く
back and forth : 行ったり来たり
sidewalk : 歩道

I'll hang up if you assure that you'll put me up when I drop in your nearly.
I paced on sidewalk back and forth.

make up : 仲直りする
take A for granted : Aを当然と思う
be through : 終わる
for good : 永遠に
I mean it : 本気で言ってる

Don't think that taking me for granted for good.
It'll certainly comes that I'm through regardless of such that makeing up.

talk over : じっくり話し合う
make it up to : 埋め合わせる
get even : 仕返しする
confess : 自白する
conceal : 隠す

Talk over about to get even for make up to.
I'll confess all and I want you not to conceal all.

keep your word : 約束を守る
lose face : 信用を落とす
stick : ~を守る
pay off : 報われる
in the long run : 最後には

To pay off in the long run, you should keep your word and not losing face.
you must stick them.

cheer up : 元気を出す
can't help : 仕方がない
dwell on : くよくよ悩む
start over : やり直す

Cheer up, You can't help it, Don't dwell on it,you may start over.
Be quiet.



英語その17

§17

figure out : ~を理解する
on earth : いったい
competent : 軽蔑
learn one's lesson : 教訓を得る、懲りる
to make matters worse : 更に悪いことに
concious : 意識
annoy : 不快にさせる

I learned my lesson that having competent concious annoy someone.
To make matter worse, How on earth many people is un aware of it.

since : ~なので
be in hurry : 慌てている
inside out : 裏返し
clumsy : 不器用な
stumble : つまずく
twist : 捻挫する
ankle : 足首

Since I stumbled and twisted my ankle, I become not be in hurry anytimes.
She is clumsy so she already makes funny things such that it's inside out.

be scared : 怖い
seldom if ever : めったに~ない
express himself : 自分を表現する
in public : 人前で
convince : 納得させる
superstition : 迷信
irrational : 根拠がない

I'm scared of to express myself in public, so I can't convince people.
Superstition seldom if ever is irrational.

tremble : 震える
injection : 注射
lazy : 怠惰な
at heart : 本当は
neglect : 怠る

I want neglect to study at heart, but I often tremle when I was lazy.

be absorbed in : ~に夢中になる
silly : くだらない
soap opeara : メロドラマ
cartoon : 漫画アニメ
as a matter of fact : 実際には
boring : くだらない

I think that people who are absprbed in soap opera are silly, and in cartoon is boring.
As amatter of fact It's exactly.

制御工学その11

3.5 MATLABによる演習



今回もMATLABは調達できないのでScilabで代用する。また、グラフは全て横軸が時間で縦軸が応答。
例外の時は軸が書いてある。


3.5.1部分分数分解

MATLABではresidueとかいう関数があるらしいがScilabにはそんなのないので
pfssという関数で部分分解して個別にk1,p1を取り出す。

今回のお題は

P(s) = 4s+5/s^2+3s+2 = k1/s-p1 + k2/s-p2


-->h = (4*s+5)/(s^2+3*s+2)
h =

5 + 4s
----------
2
2 + 3s + s

-->a = pfss(h)
a =


a(1)

3
-----
2 + s

a(2)

1
-----
1 + s



これを使って実際にラプラス逆変換をプロットしてみる。

k1*e^p1*t + k2*e^p2*t

プロットしてみる。



重婚を含む場合はScilabのpfssはやってくんねえなあ。どうしようか


問題3.12

P(s) = 1/(s+1)

ステップ応答は1/sなので応答は

Y(s) = 1/(s+1)*s

これをScilab使って部分分数分解すると

1/s + -1/s+1

逆ラプラス変換すると

y(t) = 1 - e^-t

プロットしてみる



ランプ応答は1/s^2

Y(s) = 1/(s+1)*s^2

Scilab使って部分分数展開すると

Y(s) = 1/s+1 + 1-s/s^2 = 1/s^2 - 1/s + 1/s+1

逆ラプラス変換すると

y(t) = t - 1 + e^-t

プロットしてみる




3.5.2 インパルス応答

MATLABではimpulseとかいうわかりやすいのがあったがScilabではないので

-->sysP = (4*s+5)/(s^2+2*s+5)

-->plot2d(t,csim('impuls',t,sysP))

とこうして描画してみたのが



形はあってる。

3.5.3 ステップ応答

MATLABにはstepという以下略

Scilabでは

-->plot2d(t,csim('impuls',t,sysP))

でやってみる。



3.5.3 任意の入力

前略

Scilabでもできる。

u(t) = tならば

-->plot2d(t,csim(t,t,sysP))



u(t) = sin5tならば

-->plot2d(t,csim(sin(5*t),t,sysP))



となる。

問題3.13

伝達関数に対してステップ応答、ランプ応答、インパルス応答を書く。
ここには長いのでひとつだけ

P(s) = 2/(s+1)^2

のとき
ステップ応答は



ランプ応答は



インパルス応答は



問題3.14

問題3.10をシミュレートしてみる



-->M = 0.53
M =

0.53

-->c = 2.94
c =

2.94

-->k = 25
k =

25.

-->sysP3 = 1/(M*s^2+c*s+k)
sysP3 =

1
-----------------
2
25 + 2.94s + 0.53s

-->plot2d(t,csim('step',t,sysP3))



んで結果がこちら



問題3.10の通りになった。


まとめ

MATLABのインストールにてまどってる。アクティベーションキーがないのか壊れてるのか。


英語その16

§16

show off : ~を見せびらかす
at first sight : ~一目見ただけで
take a chance : 思い切ってやってみる
turn down : 断る
by chance : 偶然に

I see that she has habit of showing off her collection at first sight.
Upwelling corage by chance, I took a chance and turned it down.

nephew : 甥
bring up : ~を育てる
modest : 謙虚な
considerate : 思いやりのある
folks : 両親
take to : ~が好きになる
at once : すぐに

My folks brought me up to be modest and considerate,
so My nephew will take to them at once.

not so much A as B : AではなくBで
how A looks : Aの外見
who A is : A現在の自分
It is A that ~ : Aこそが~だ
title : 肩書き
count : 重要である。
for sure : 確かに
exclaim : 語気を強めていう

He exclaims some assertion, that are it's who they are that counts. we judge person not so much how he looks as what titles he has.
For sure.

As ~ put it : ~がいうように
self-made : 自力で出世した
keep in mind : 覚えておく

Keep in mind that self-made man certainly has vision as this book puts it.

制御工学その10

3.4 極と零点



3.4.1 極と安定性

簡単のため、伝達関数P(s)の極が互いに異なる実数a_iと複素数α_i±ωiだとすると

y(t) = A_0 + Σ[i=1:N]{A_i*e^(a_i*t)} + Σ[i=1:M]{B'_i*e^(α_i*t)*sin(ω_i*t+φ_i)}

となる。計算略。というかどうでもいい

ここから、t→∞でy(t)が収束するには、a_iとα_iが共に負であれば良いことがわかる。

つまり

「伝達関数の極の実部がすべて負であれば、その時に限りシステムは安定する。」

ということである。この時実部が負である極を安定極、正である極を不安定極という。

問題3.11

(1) P(s) = 1/(s+1)(s+2)

極が-1.-2なので安定

(2) P(s) = s+1/(s-1)(s+2)

極が1,-2なのでふあんてい

(3) P(s) = 1/s^2-2s+2

極が 1±iなので不安定

(4) P(s) = s-1/(s+1)(s^2+2s+2)

極が -1,-1±iなので安定


3.4.2 極と過渡特性

では極の値がどのように過渡特性に影響を与えているかをまとめる。
2次遅れ系を例に取ると

・極の実部が負側に大きくなると、減衰性が向上する
・極の虚部が大きくなると、振動する周期が短くなる

ということが言える。

このことは、一般的なシステムにも言えるので、システム設計の時にはこの関係を考慮する必要がある。

次に、システムの振る舞いを支配する極について述べる。
例えば

P(s) = 1/(γs+1)(s+1)

という伝達関数を考える。これに対するステップ応答は

y(t) = 1 - 1/(1-γ)*e^-t - + γ/(1-γ)*e^(-t/γ)

である。この時、ガンマが十分小さければ、P(s)の極-1/γに関するモードe^(-t/γ)は
もうひとつの極-1に対するモードe^-tに比べて速く0に収束していく。
そのため、極1に対するモードe^-tがシステムの振る舞いに対して支配的になっていくのである。
このような、システムの振る舞いを最も支配している極を代表極という。


3.4.3 零点と過渡特性

伝達関数の零点がシステムの応答にどのように影響するかを考える。

P(s) ks+2/(s+1)(s+2)

ここで零点は-2/kである

という伝達関数のステップ応答を考える。
ステップ信号をかけて逆ラプラス変換すると

y(t) = 1 + (k-2)*e^-t + (1-k)*e^-2t

となる。これをtで微分すると

y'(t) = (2-k)*e^-t + (2k-2)*e^-2t

t=0のときy'(t) = kとなるため、
零点がz>0のとき、つまりk<0のとき、y'(0) < 0となり、逆ブレを起こすことがわかる。

また、零点z = -2/kが極-1または-2に非常に近い時、極と零点が相殺されて零点の影響がほとんど現れない。
このような、接近した極と零点の組みをダイポールという。

さらに、零点が-1
実部が正であるような零点を不安定零点という。不安定零点を持つシステムとしては、倒立振子システムなどが知られている。


まとめ

3.4.1

伝達関数の極に焦点を当てて、システムの振る舞いを調べた。
結論からいうと

「伝達関数の極の実部がすべて負であれば、その時に限りシステムは安定する。」

である。
この時実部が負である極を安定極、正である極を不安定極という。


3.4.2

極が過渡特性に与えている影響を調べた
2次遅れ系を例に取ると

・極の実部が負側に大きくなると、減衰性が向上する
・極の虚部が大きくなると、振動する周期が短くなる

という結果となり、これは一般的なシステムにも言える(らしい。)


3.4.3

今度は、零点が振る舞いに与える影響について触れた。
零点の値によっては、y'(0) < 0となり、逆ブレを起こすことがわかる。

また、零点が極に非常に近い時、極と零点が相殺されて零点の影響がほとんど現れなくなり、この接近した極と零点の組みをダイポールという。
さらに、零点が-1
実部が正であるような零点を不安定零点という。不安定零点を持つシステムとしては、倒立振子システムなどが知られている。


わからないところ

今回は知識のみっぽいのであとに残そう。

英語その15


§15

first of all : 何よりもまず
learn by heart : 暗記する
crack : ひび
geometry : 幾何学
practical : 実用的な

First of all, to make geometry practical, learn formula by heart.
So you make no cracks in it.

microscope : 顕微鏡
have ~ done : ~してもらう
instrument : 器具
gauge : 計器
thermometer : 温度計
barometer : 気圧計

I should have gauge such as thermometer or barometer looked be instrument such as microscope.

minute : 極めて小さい
particle : 粒子
barely : かろうじて~できる
naked eye : 肉眼
tissue : 組織
vast : 膨大な

Vast tissue consist of minute particles that can barely be seen by naked eye.

substance : 物質
compose : 構成する
exact : 正確な

When you do exact measurement, you can find substance which compose it.

制御工学その9

3.3.2 2次遅れ系

2次遅れ系とは、

Y(s) = P(s)U(s)
P(s) = Kω_n/(s^2 + 2ξω_n*s + ω_n^2)

で標準形として表されるものである。
ここで、この2次遅れ系の過渡特性を説明する。

2次遅れ系の減衰性は、減衰係数ξに、即応性は固有角周波数ω_nによって決まる。

2次遅れ要素P(s)について考えれば、極は分母の根なので

s = -(ξ±sqrt(ξ^2 - 1))*ω_n

で表すことができる。
ここで、この曲はξの値によって3つに分けることが出来る。

つまり、

|ξ|>1で実数の二つの解
|ξ|=1で重複する一つの実数
|ξ|<1で二つの複素数

である。

(1) |ξ| < 1 の場合

P(s)の極を

p1 = -(ξ+sqrt(1-ξ^2)*i)*ω_n
p2 = -(ξ-sqrt(1-ξ^2)*i)*ω_n

とする。ステップ応答は

P(s)U(s) = Kω_n/(s^2 + 2ξω_n*s + ω_n^2) * 1/s

なので

Y(s) = K(1/s + 1/(p1-p2)*(p2/(s-p1) - p1/(s-p2)))

となる。これを逆ラプラス変換すると

ひたすら展開して

y(t) = K(1 - e^(-ξω_n*t)/sqrt(1-ξ^2) * (ξ*sin(ω_d*t) + sqrt(1-ξ^2)*cos(ω_d*t))

= K(1 - e^(-ξω_n*t)/sqrt(1-ξ^2) * sin(ω_d*t + φ) : φ = tan_-1(sqrt(1-ξ^2)/ξ)


となる。ここでξは -1 < ξ < 1なので

0<ξ<1の時

y_∞ = Kに収束し、

-1<ξ<0

のとき発散する。

また、

ξ=0のとき

y(t) = K(1 - cos(ω_d*t))

となるので、これは収束も発散もしない振動となる。

(2) |ξ| = 1の場合

ξ=±1ならば
ステップ応答は

Y(s) = Kω_n/(s^2 + 2ξω_n*s + ω_n^2) * 1/s

= K(1/s - ξ*ω_n/(s+ξω_n)^2 - 1/(s+ξω_n))

逆ラプラス変換すると

y(t) = K(1 - e^(-ξω_n*t)*(ξω_n*t+1))

なのでξ=1の時は

y_∞ = Kに収束し、

ξ = -1 の時は振動せず発散する。

(3) |ξ| > 1の場合

P(s)の二つの極を

p1 = -(ξ+sqrt(ξ^2 - 1))*ω_n
p2 = -(ξ-sqrt(ξ^2 - 1))*ω_n

とするとステップ応答は

Y(s) = K(1/s + 1/(p1-p2)*(p2/(s-p1) - p1/(s-p2)))

逆ラプラス変換すると

y(t) = K(1 - e^(-ξω_n*t)/β*((ξ+β)*e^βω_n*t - (ξ-β)*e^-βω_n*T)))

となる。

0<β<|ξ|

なので

ξ>1の時

y_∞ = Kに収束し、

ξ<-1の時
振動せずに指数関数的に発散する。

次に行き過ぎ時間について考える。

行き過ぎ時間T_pはピーク値が存在するときのみ存在するので
0<ξ<1の時のみ存在する。

この時のステップ応答は

y(t) = K(1 - e^(-ξω_n*t)/sqrt(1-ξ^2) * (ξ*sin(ω_d*t) + sqrt(1-ξ^2)*cos(ω_d*t))

なのでこれを微分すると

y'(t) = Kω_n/sqrt(1-ξ^2)*e^-ξω_n*t * sin(ω_d*t)

となり、これが初めて0になる、つまりω_d*t=πのときに、行き過ぎ時間となる。
その時のtは

t = π/ω_d = π/(ω_n*sqrt(1-ξ^2)

である。

つぎにオーバーシュートについて考える。
ピーク値になるtの時、y(t)のピーク値は

y_max = K(1 + e^(-ξω_n*t)) : t=π/ω_d

であり、定常値はy_∞ = Kなので

A_max = y_max - y_∞ = K*e^(-ξω_n*π/ω_d) = K*e^(-πξ/sqrt(1-ξ^2))

となる。

次に減衰率λについて考える

y'(t)とy(t)より、最初のπから2*i回目のπがi回目のピーク値である。

つまり

ω_d*t_i = (2i - 1)π

を満たすt_iにおけるy(t_i)である。

したがって

y_i = y(t_i) = K(1 + e^-ξω_n*t_i)

ここからi番目の行き過ぎ量

A_i = y_i - y_∞ = K*e^-ξω_n*t_i

が定まるので
減衰率λは、

λ = A_i+1/A_i = e^-ξω_n*((2i+1)π/ω_d) / e^-ξω_n*((2i-1)π/ω_d)

= e^(2πξ/sqrt(1-ξ^2))

となり、一定値であることがわかる。

以上のことから、2次遅れ系の過渡特性についてまとめる。

(1)減衰係数ξについて

安定度に関するパラメータであり、以下の特徴を持つ

ξ < 0の時発散する(システムが不安定になる)
ξ = 0のとき、発散も減衰もしない持続振動となる
0 < ξ < 1のとき、オーバーシュートA_maxと減衰率λがξのみに依存した、

A_max = K*e^(-ξω_n*π/ω_d) = K*e^(-πξ/sqrt(1-ξ^2))
λ = = e^(2πξ/sqrt(1-ξ^2))

となり、振動しながら指数関数的に定常値

y_∞ = K

に収束する(不足制動)。
また、ξが0に近いほど早く定常値y_∞ = Kに収束する。

ξ = 1の時、オーバーシュートが生じないギリギリの応答となる(臨界制動)
ξ > 1の時、オーバーシュートが全く生じない(過制動)


(2)固有角周波数ω_nについて

即応性に関するパラメータであり、ω_n>0が大きいほど即応性が良い。
また、応答が振動するときの行き過ぎ時間T_pは

T_p = π/(ω_n*sqrt(1-ξ^2))

なので、ω_nが大きいほど行き過ぎ時間T_pは小さくなる。


問題3.9

Y(s) = C/CLs^2+RCs+1

標準形に直すと

ξ = R*sqrt(CL)/2L
ω_n = 1/sqrt(CL)
K = C

となるので
オーバーシュートを生じないξ ≧ 1の時のRは

R ≧ 2*sqrt(L/C)

となる

問題3.10

Y(s) = 1/Ms^2+(c1+c2)s+k

標準形に治すと

ξ = c/(2*sqrt(km))
ω_n = sqrt(k/M)
K = M/k

となる。y_max = 0.04から

K = 0.04
ω_d = π/T_pより
ω_d = 6.28

K*e^-ξω_n*T_p = 0.01

より

ξω_n = 2.77

あとはわからない。

まとめ

P(s) = Kω_n/(s^2 + 2ξω_n*s + ω_n^2)

上の式で表される2次遅れ系の過渡特性を調査した。
過渡係数ξによっていくつかの場合に分かれまとめると

ξ < 0の時発散する(システムが不安定になる)
ξ = 0のとき、発散も減衰もしない持続振動となる
0 < ξ < 1のとき、オーバーシュートA_maxと減衰率λがξのみに依存した、

A_max = K*e^(-ξω_n*π/ω_d) = K*e^(-πξ/sqrt(1-ξ^2))
λ = = e^(2πξ/sqrt(1-ξ^2))

となり、振動しながら指数関数的に定常値

y_∞ = K

に収束する(不足制動)。
また、ξが0に近いほど早く定常値y_∞ = Kに収束する。

ξ = 1の時、オーバーシュートが生じないギリギリの応答となる(臨界制動)
ξ > 1の時、オーバーシュートが全く生じない(過制動)

となる。また、固有角周波数ω_nについて、

即応性に関するパラメータであり、ω_n>0が大きいほど即応性が良い。
また、応答が振動するときの行き過ぎ時間T_pは

T_p = π/(ω_n*sqrt(1-ξ^2))

なので、ω_nが大きいほど行き過ぎ時間T_pは小さくなる。

わからないところ

問題3.10の(3)について、ω_nの導出式がどこからでてきたのかわからない。

英語その14

§14

hand in : ~を提出する
assignment : 課題
via : ~を使って
anything but : ~とはとても思えない
diligent : 勤勉な
flunk : 単位を落とす

He is anything but able to hand in his assignment, so he will flunk again if he don't become diligent.

thesis : 論文
make sence : 意味をなす
to begin : 第一に
obscure : あいまいである
concise : 簡潔な
to the point : 要領を得た

To make sence need to be concise and to the point.
To begin, thesis must not be obscure.

deal with : 問題に対処する
complicate : 複雑な
leave A to B : AをBに任せる
a piece of cake : 朝飯前
look over : 目を通す
turn in : 提出する

Why don't you leave it to him. He said it's a piece of cake.
When you deal with complicated problem, you should look document turned in over.

meet the deadline : 締め切りに間に合わせる
I bet : きっと~だ
mad : ~に腹を立てた
leaves nothing to be desired : 申し分ない
aprt from : ~を別にすれば
terrible : ひどい

If you meed the deadline, It leaves nothing to be desired apart from you got mad.
I bet it'll be terrible.

ought to do : ~すべきだ
premise : 前提
above all : とりわけ
call for : ~を必要とする
precise : 厳密な

Above all, precise premise ought to do call for precise recognition.

英語その13

§13

cut it on : ~に割り込む
on purpose : わざと
bully : いじめる
turn a blind eye : 見ないふりをする
as for : ~においては
get away with : 罰をまんまと逃れる

Child who turn a blind eye to bullying on purpose was punished but as for bullying child get away with it.
If I cut it on bullying, It'll become someelse.

hostile to : ~に敵対心を持つ
jealous : 妬んでいる
wealth : 富
status : 地位
behave : 振舞う
as if : ~であるかのように
somebody : すごい人

I just behave as if I hostile to somebody who has wealth and status.
It's not jealousy.

compliment : 褒め言葉
frown : 顔をしかめる
rude : 失礼
enormous : 莫大な
property : 財産
at one's disposal : ~の自由にできる

I said that Enormous property is at your disposal, he frowned.
I think it's compliment, but it may be rude.

the more ~ : ~すればするほど
stubborn : 頑固
isolated : 孤立する
beat around the bush : 遠まわしに言う
suppose : ~だと思う

The more beat around the bush, the more isolated he become because he is supposed to being stubborn.

制御工学その8

3.2 過渡特性と定常特性



3.2.1 ステップ応答における過渡特性の指標

システムの時間横刀が落ち着くまでの時間を「過渡特性」という。
ステップ応答の過渡特性の指標には以下のものがある。

立ち上がり時間 T_r : ステップ応答が定常値の10%から90%の値になるまでの時間
遅れ時間 T_d : ステップ応答が定常値の50%になるまでの時間
整定時間  T_s : 応答が定常値の±S%になるまでの時間。Sには5,2,1のように選ばれることが多い。
オーバーシュート A_max : 応答の最大ピーク値と定常値の差であり、 A'_max = Y_max/Y_∞ *100 のようにパーセンテージで表されることが多い。
行き過ぎ時間 T_p : 最初のピーク値に達するまでの時間。
減衰率 λ : i番目の行き過ぎ量とi+1番目の行き過ぎ量の比 A_i+1/A_iであり、対数で表されることもある。

過渡特性は、どれだけシステムの応答が速いかという速応性、システムの応答の振れがどれだけ小さいかという安定性(減衰性)に大別できる。
上記の指標を分類すると

速応性
 ・立ち上がり時間
 ・遅れ時間
 ・行き過ぎ時間
 ・整定時間

安定性
 ・オーバーシュート
 ・減衰率
 ・整定時間


3.2.2 定常特性

十分時間が経過したあとの時間応答の特性を「定常特性」という。
時間応答y(t)がある値に収束するのであれば

lim[t→∞]{f(t)} = lim[s→0]{s*f(s)}

である。これをラプラス変換における最終値の定理という。以下証明

f(t) → f(s)より

df(t)/dt → s*f(s) - f(0)

ラプラス変換の式に当てはめると

int[0→∞]{df(t)/dt*e^-st}dt = s*f(s) - f(0)

ここで最終値lim[s→0]を考えると

lim[s→0]{int[0→∞]{df(t)/dt*e^-st}dt} = lim[s→0]{s*f(s) - f(0)}

= int[0→∞]{df(t)/dt*1}dt = lim[s→0]{s*f(s) - f(0)}

左辺の積分を約分でf(t)の積分に変更して

= int[f(0)→f(∞)]{1}df(x) = lim[s→0]{s*f(s) - f(0)}

= f(∞) - f(0) = lim[s→0]{s*f(s)} - f(0)

よって

lim[t→∞]{f(t)} = lim[s→0]{s*f(s)}

である。
特にここで、ステップ入力u(t) = 1/sを考えれば

lim[t→∞]{f(t)} = lim[s→0]{s*P(s)*1/s} = lim[s→0]{P(s)}

となる。つまり、ステップ応答の定常地は

y_∞ = P(0)

となる。

例をスキップして問題3.5

(1) P(s) = s+1/s+2のとき定常値は1/2
(2) P(s) = 2/(s+1)^10のとき定常値は2


3.3 一次及び二次遅れ系の過渡特性と定常特性



3.3.1 一次遅れ系

一次遅れ系のステップ応答を求め、その過渡特性、定常特性について説明する。
一次遅れ系は

P(s) = K/(1+Ts)

で表されるものである。ここにステップ入力を加えると

Y(s) = P(s)U(s) = K/(1+Ts)*1/s

となり,部分分数分解すると

K(1/s - T/(s+1/T))となる。

これを逆ラプラス変換すればステップ応答となり、

y(t) = K(1 - e^(-t/T))

となる。
T>0の時は収束するため、ステップ応答は収束し、定常値K。逆にT<0のときはe^-t/Tが発散するため、システムは不安定になる。
また、Tが小さいほどe^-t/Tの減少速度が大きいため、システムの速応性はよくなる。

ここで、y(t)を時間微分すると

y'(t) = K/T*e^(-t/T)

である。そのため、y(t)の初速度はK/Tである。また、T=tとすると、

y(t) = (K - e^-1) = K*0.632

となるため、つまり時定数Tは定常値の63.2%になるまでの時間だと考えることが出来る。

以上より、一次遅れ系の特性をまとめる。

・一次遅れ系の安定性は時係数Tによって定まり、T>0の時安定、T<0のときふあんていである。
 また、T>0の時のステップ応答は振動がなく、オーバーシュートも生じない。
・一次遅れ系のステップ応答の速応性は時定数Tによって定まり、Tが小さいほど速い。
 また、T=tのとき定常値の63.2%となる。


問題3.6

一次遅れに対するインパルス応答は

K/1+Ts * 1 を逆ラプラス変換し、 K/T*e^(-t/T)となる。図略

問題3.7
RL回路で、

u(t) = e(t),y(t) = i(t)とすると問題は

u(t) = L*y'(t) + R*y(t)となり

P(s) = 1/Ls+R
となる。これを一次遅れの標準形にすると

P(s) = (1/R)/(1+L/R*s)
となるので、時定数T = L/Rである。

ここでスイッチをオンにすると、

i(t) = y(t) = Y(s) = P(s)U(s)

ここでu(t) = E_0なのでU(s) = E_0/s

これはステップ応答*E_0なので

y(t) = E_0*1/R*(1 - e^-t/(L/R))

定常値は lim[s→0] * P(s)U(s) = E_0/R

となる。

このとき、時定数はL/RなのでRを大きくすればするほど時定数は小さくなり、速応性は良くなる。
Lを大きくすれば、時定数は大きくなるため、速応性は悪くなる。

問題3.8

この回路に対して、1Vの電圧を与え、定常地が0.02で63.2%に達するまでの時間が0.004[s]であった。

E_0/R = 0.02で、E_0は1なので

1/R = 0.02
R = 50

T = L/Rより

0.004 = L/50

L = 0.2

となる。

まとめ

3.2

過渡特性と定常特性を示す指標について学んだ。
それらの指標は以下のものであり、

立ち上がり時間 T_r : ステップ応答が定常値の10%から90%の値になるまでの時間
遅れ時間 T_d : ステップ応答が定常値の50%になるまでの時間
整定時間  T_s : 応答が定常値の±S%になるまでの時間。Sには5,2,1のように選ばれることが多い。
オーバーシュート A_max : 応答の最大ピーク値と定常値の差であり、 A'_max = Y_max/Y_∞ *100 のようにパーセンテージで表されることが多い。
行き過ぎ時間 T_p : 最初のピーク値に達するまでの時間。
減衰率 λ : i番目の行き過ぎ量とi+1番目の行き過ぎ量の比 A_i+1/A_iであり、対数で表されることもある。

上記の指標を分類すると

速応性
 ・立ち上がり時間
 ・遅れ時間
 ・行き過ぎ時間
 ・整定時間

安定性
 ・オーバーシュート
 ・減衰率
 ・整定時間

の2つの性質を表す指標となる。

また、応答の定常特性は最終値の定理より

lim[t→∞]f(t) = lim[s→0]s*f(s)

と求めることが出来、特にステップ応答の場合、

y_∞ = P(0)

である。

3.3

一次遅れ系の特性について学んだ。
一次遅れ系は

P(s) = K/1+Ts

という形で表されるもので、Tを時定数という。
一次遅れ系の特性を以下にまとめると(転載)

・一次遅れ系の安定性は時係数Tによって定まり、T>0の時安定、T<0のときふあんていである。
 また、T>0の時のステップ応答は振動がなく、オーバーシュートも生じない。
・一次遅れ系のステップ応答の速応性は時定数Tによって定まり、Tが小さいほど速い。
 また、T=tのとき定常値の63.2%となる。


わからないところ

あんまない。やってることが簡単でいい。

英語その12

§12

desperate : わらにもすがる思いの、絶望的な
turn one's back on : 背を向ける
parliament : 議会
monarchy : 君主制
abolish : 廃止

We shoud abolish monarchy and make parliament.
I turned my back desperately.

prospect : 可能性
significant : 大きな、著しい
disarmament : 軍縮
under way : 進行中である
before long : そろそろ、まもなく
crucial : 極めて重大な

The conference for settle prospect of disarmament is under way.
Before long it'll finish, and we are faced with crucial significant crisis.

anxious : 切望する
alter : 変える
aristocrat : 貴族
abuse : 乱用する
previlege : 特権

One aristcrat anxious to abuse his previlege, but many anxious to alter such custom.
You, give me two.

in itself : ~それ自身
bear fruit : 成果を生む
after all : 結局

After all, The study in itself bore no fruit.

英語その11

§11

auditorium : 講堂
except for : ~を除いて
will do : 十分である
as long as : ~である限り
rent : 賃料

Any building will do as long as the rent isn't extravagant expect for it is auditorium.

cousin : いとこ
inherite : 相続する
so much for : ~をここまでにする
small talk : 世間話
get down to : とりかかる

So much for small talking about inherited cousin, Let's have a break and get down to ours.

resent : 腹を立てる
discourage : ~する気をなくさせる
invest : 投資
stock : 株
raw : 加工されていない
import : 輸入
export : 輸出
material : 原料
maufacture: 製造する

Stock of company accounts raw foods has been invested so I discouraged from doing to it.
One nation resented the nation imports manufactured and exports raw foods.

in the course of : ~の過程で
value : 価値観
abandon : 見捨てる
be faced with : ~に直面する
unprecedented : いまだかつてない

We dealed when are faced with unprecedented situation by to abandon old value in the course of dealing.

in short : 要するに
purpose : 目的
regulation : 規制
domestic : 国内の、家庭内の
industry : 産業
keep up : 維持する
competitiveness : 競争力
undertake : 着手する
deregulation : 規制緩和
in earnest : 真剣に

In short, we have formulated regulations of domestic industry , but we must undertake deregulation in earnest and purpose is keep up competitiveness.

英語その10

§10

stuff : もの、こと(thingみたいな)
in the way : 邪魔になる
make believe : ~のまねをする
scold : しかる
bump : ぶつかる
shelf : 棚
china : 陶磁器

I bump to china on account of that thie shelf is in my way.
Making believe I scold because he broke stuff, he cryed.

keep an eye on : 目をはなさない
pick up : 迎えに行く
tell off : 説教する
mess : 散らかった状態
resemble : 似ている
in ~ way : の意味で
tell ~ apart : 見分ける

I told off that he didn't keep an eye on him while I picked up her.
So my room became mess resemble his room that I couldn't tell them apart in some way.

as a rule : 概して
have a lot in common : 共通点が多い
do the dishes : 食器を洗う
laundry : 洗濯
pastime : 余暇の過ごし方
stroll : 散歩する
shore : 海岸

As a rule My pastime is doing the dishes or laundry.
I want to stroll a shore once in a while
we have a lot in common.

exhause : 疲れきる、疲労困憊
why not : 勧誘に対して、もちろん
thirst : 乾き
out of order : 故障中
faint : 気を失う
come to : 意識を回復する

I'm so exhaused so I'll faint with thiest if I'm let run.
Give me a reason or why not.
He came to but No sooner he had seen it's out of order than he fainted again.

制御工学その7

3.1 ラプラス変換を利用した時間応答の計算 : 続き



3.1.4 時間応答の計算

動的システムのインパルス応答やステップ応答、ランプ応答といった基本応答は、ラプラス変換後のY(s)
を逆ラプラス変換することによって求めることができる。
以下に例を挙げる。

なお、伝達関数は全て
P(s) = 1/(s+1)
とする

例3.7 インパルス応答の計算

インパルス入力はu(s) = 1であるので

Y(s) = P(s)U(s) = 1/(s+1)

となる。これを逆ラプラス変換すると

y(t) = e^-t

となる。

例3.8 ステップ応答の計算

ステップ入力はU(s) = 1/sであるので

Y(s) = 1/(s+1)*1/s= 1/(s*(s+1))

となる。

これは簡単なラプラス変換表にはないので部分分数分解し

Y(s) = k_1/s + k_2/(s+1)

とおく。すると分母は

k_1*s + k_1 + k_2*s となるため

k_1+k_2 = 0
k_1 = 1
k_2 = -1
となることがわかる

つまりここで

Y(s) = 1/s - 1/(s+1)

を逆ラプラス変換すれば、

y(t) = 1 - e^-t

となる。

例3.9 ランプ応答の計算

ランプ応答はU(s) = 1/s^2となるので

Y(s) = 1/(s^2*(s+1))

となるこれもやっぱり部分分数分解する必要があり

Y(s) = k1/s^2 + k2/s + k3/(s+1)

となる。

(k2+k3)*s^2 + (k1+k2)*s + k1 = 1

なので
k1 = 1
k2 = -1
k3 = 1

となり、結局

Y(s) = 1/s^2 - 1/s + 1/(s+1)

逆ラプラス変換すると

y(t) = t - 1 + e^-t

となる。

ここで部分分数分解について述べる。
通常、システムの応答を求めるには部分分数分解する必要がある。

つまり

Y(s) = (bm*s^m + bm-1*s^m-1 + ... + b0) / (s^n + an-1*s^n-1 + ... + a0) (n>m)

となるとき、分母の根piを用いて分数の掛け算で表すと

Y(s) = (bm*s^m + bm-1*s^m-1 + ... + b0) / ((s-p1)*(s-p2)*...*(s-pn))

と表せる。これの部分分数分解は二通りになり

(1)、分母の根がすべて異なる場合

分母の根がすべて異なる場合というのは、つまり分母を掛け算で表したときに2乗以上の乗数が現れないことである。

このときは部分分数分解すると

Y(s) = k1/(s-p1) + k2/(s-p2) + ... + kn/(s-pn)

となる。これは先程の計算のように、係数の恒等式で解くことができるが、もっと簡単に解ける

k_i = (s-pi)*Y(s)

を計算し、かつs=piとおいた時の値がk_iとなる。

実際に計算してみる

例3.10 ステップ応答における部分分数分解

Y(s) = k1/s + k2/s+1

について、

k1 = (s-0)*1/s(s+1) = 1/s+1
ここで、s=p1=0なので
k1 = 1/1 = 1

また
p2 = -1より

k2 = (s+1)*1/s(s+1) = 1/s

s=p2=-1より

k2 = 1/-1 = -1

よって伝達関数は

Y(s) = 1/s - 1/s+1

となる。

(2) 分母の根に重根がある場合

重婚が1-lの間にあるとすると

Y(s) = k_1_l/(s-p1)^l + k_1_l-1/s(-p1)^l-1 + ... + k_1_1/(s-p1)

+ k_l+1/(s-p_l+1) + ... + k_n/(s-pn)

となる。ここでもkを恒等式によって求めることができるが、簡単な計算にすることができる。以下に示す

重根部分は

k_i_l = 1/(l-i)! * d(l-i)/ds(l-i){(s-pi)^l*Y(s)}

を解いたときにs = piとおいた時の値である。

また、

それ以外は重根のない部分と同じである。以下に例を示す。

例3.11 ランプ応答の部分分数分解

先程のランプ応答は

Y(s) = k1_2/s^2 + k1_1/s + k3/s(s+1)

と部分分数分解できた。これを上の式に当てはめると
重根部分

k1_2/s^2 + k1_1/s



k1_2 = 1/(2-1)! * d(2-2)/ds(2-2){(s-p1)^2*1/s^2(s+1)} (s=0)

となるため結局

k1_2 = 1/1 = 1

また、

k1_1 = 1/(1-1)! * d(2-1)/ds(2-1){(s-p1)^2*1/s^2(s+1)} (s=0)

つまり

k1_1 = d(1/s+1)/ds = -1/(s+1)^2 (s=0) = -1

となる。重根でない部分は

k3 = (s-p3)*1/s^2(s+1) (p3 = -1) = 1/s^2 (s = -1) = 1

となる。

これらの部分分数分解の結果は、p_iが複素数である場合もふくんでいる。
複素数の場合、オイラーの公式を用いると、時間応答を実数で表すことが出来る。
以下に例を示す

3.12 p_iに複素数を含むステップ応答の計算

P(s) = 10/(s^2+2s+10)

となる時のステップ応答を計算する

Y(s) = P(s)*1/s = 10/s(s^2+2s+10)

であるため、部分分数分解すると(s^2+2s+10)の解である複素数を用いて

Y(s) = k1/s + k2/(s+1-3i) + k3/(s+1+3i)

という式が立つ。ここで先程の簡単計算法を用いてkを求めると

k1 = (s)*10/s(s^2+2s+10) = 10/(s^2+2s+10), s=0なので10/10 = 1

k2 = (s+1-3i)*10/s(s+1+3i)(s+1-3i) = 10/s(s+1+3i) s=-1+3iなので 10/6i(-1+3i) = 10/-6i-18 = 5/-9-3i = -1/6*(3-i)

k3 = (s+1+3i)*10/s(s+1+3i)(s+1-3i) = 10/s(s+1-3i) s=-1-3iなので 10/-6i(-1-3i) = 10/6i-18 = 5/-9+3i = -1/6*(3+i)

ここで応答Y(s)がもとまり

Y(s) = 1/s - 1/6*(3-i)/(s+1-3i) - 1/6(3+i)/(s+1+3i)

ラプラス変換すると

y(t) = 1 - 1/6*(3-i)*e^-(1-3i)t - 1/6*(3+1)*e^-(1+3i)t = 1 - 1/6(3-i)*e^(-1+3i)t - 1/6(3+1)*e^(-1-3i)t

= 1 - 1/6*(3-i)*e^-t*e^3it - 1/6*(3+i)*e^-t*e^-3it

となる。
ここで
e^iθ = cosθ+i*sinθ
e^-iθ = cosθ-i*sinθ
を用いて

y(t) = 1 - 1/6*(3-i)*e^-t*(cos3t+isin3t) - 1/6*(3+i)*e^-t*(cos3t-isin3t)

右辺第二項と第三項をまとめて

y(t) = 1 -1/6*e^-t*{(3-i)(cos3t+isin3t) + (3+i)(cos3t-isin3t)}

(3-i)(cos3t+isin3t) + (3+i)(cos3t-isin3t) = 3cos3t + 3isin3t - icos3t + sin3t + 3cos3t -3isin3t + icos3t +sin3t
=3cos3t + sin3t + 3cos3t +sin3t = 2(sin3t + 3cos3t)

つまり

y(t) = 1 - 1/3*e^-t(sin3t+3cos3t)

となる。

問題3.4

ステップ応答を求める。

(1)P(s) = 3/(s+2)

Y(s) = 1/s*3/(s+2) = 3/s(s+2) = (3/2)/s + (-3/2)/s+2

逆ラプラス変換すると

y(t) = 3/2 - 3/2*e^-2t


(2)P(s) = (s+4)/((s+1)*(s+2))

Y(s) = (s+4)/s(s+1)(s+2) = 1/(s+1)(s+2) + 4/s(s+1)(s+2)

1/(s+1)(s+2) = 1/(s+1) - 1/(s+2)

4/s(s+1)(s+2) = 2/s - 4/(s+1) + 2/(s+2)

Y(s) = 2/s - 3/(s+1) + 1/(s+2)

逆ラプラス変換すると

y(t) = 2 - 3e^-t + e^-2t


(3)P(s) = 2/(s+1)^2

Y(s) = 2/s(s+1)^2 = -2/(s+1)^2 - 2/(s+1) + 2/s

逆ラプラス変換すると

y(t) = -2t*e^-t - 2*e^-t + 2 = 2 - 2*e^-t*(t+1)


(4)P(s) = 5/(s^2+2s+5)

Y(s) = 5/s(s^2+2s+5) = 5/s(s+1-2i)(s+1+2i)

= 1/s - 1/4*(2-i)/(s+1-2i) - 1/4*(2+i)(s+1+2i)

逆ラプラス変換すると

y(t) = 1 - 1/4*(2-i)*e^-(1-2i)t - 1/4*(2+i)*e^-(1+2i)t = 1 - 1/4*(2-i)*e^(-1+2i)t - 1/4*(2+i)*e^(-1-2i)t

= 1 - 1/4*e^-t*{(2-i)*e^2it + (2+i)*e^-2it}

(2-i)*e^2it + (2+i)*e^-2it = (2-i)*(cos2t+isin2t) + (2+i)(cos2t-isin2t) = 2cos2t + 2isin2t - icos2t +sin2t + 2cos2t - 2isin2t + icos2t + sin2t

2cos2t +sin2t + 2cos2t t + sin2t = 2sin2t + 4cos2t = 2(sin2t + cos2t)

y(t) = 1 - 1/2*(2-i)*e^-t*{sin2t+2cos2t} = 1 - 1/2*(2-i)*e^-t*sqrt(5)sin(2t+θ) (θ=tan_-1(2))

y(t) = 1 - (2-i)*e^-t*(1/2*sin2t+cos2t)

である。

まとめ

ステップ応答を例に、ラプラス変換後から出力関数の振る舞いを調べた。
この時、逆ラプラス変換するために部分分数分解をする必要がある。

簡単と書いてあるが、重根があった場合の式

k_i_l = 1/(l-i)! * d(l-i)/ds(l-i){(s-pi)^l*Y(s)} (s=pi) (重根部分)

k_i = (s-pi)*Y(s) (s=pi) (非重根部分)

は非常にめんどくさい。計算大変。
また、複素数を含みながら部分分数に分けたときはたいてい三角関数として実数関数に戻すことができる。

英語その9

§9にしてすでに過去の単語に怪しいのが出てきた。不安がいっぱいですぅ

§9

come to : ~になる
bill : 請求額
utility : 電気とかガスとか
faucet : 蛇口、水道の栓
yell : 叫ぶ

if I didn't yell to close faucet, The bill of utility came to so huge.

tighten : きつくしめる
lid : 蓋
so that don't : ~しないように
transparent : 透明な
glue : 接着剤
thread : 縫い糸

You must tighten this lid so that a thread doesn't touch the transparent glue.

dye : 染める
fabrick : 織物
shrank : 縮む
get rid of : ~を捨てる
wear out : 擦り切れる

This fabrick worn out so I can't help dyeing or getting rid of even if it'll shrank.

flour : 小麦粉
mixture : 混合物
thick : とろみが付く
do with : ~をどうにかする
leftover : 残り物
fridge :冷蔵庫

You want do with that leftover?
You should make it mixture with flour and keep it in fridge untili it become thick.

lay ~ out : (お金を)つぎ込む
for a rainy day : まさかの時のために
something of : ちょっとした~
no sooner A than B : Aした途端にB
chore : 雑用
sit back : ゆっくり座る

No sooner had I laid out on chore than the money for a rainy day become necessary.
I sat back and spent something of graceful time.

lay : 横たえる
lie : 横になる

I laid him and lay at his aside.

制御工学その6

第3章 伝達関数の過渡特性と定常特性



システムの振る舞いを調べる代表的な方法は、システムに単位インパルス信号や
単位ステップ信号などの基本信号を加え、システムの出力を調べるというものである。
本章では、まずラプラス変換を利用することによって基本信号と応答信号を計算する方法を書く。

また、システムの時間応答が落ち着くまでの時間(過渡特性)及び落ち着いた後の特性(定常特性)
について説明する。

3.1 ラプラス変換を利用した時間応答の計算



3.1.1 基本応答


1.単位インパルス関数


入力信号として、単位インパルス関数、単位ステップ関数、単位ランプ関数と呼ばれる信号を加え、その時の出力を調べることが多い。

ここでインパルス関数とは

δ_ε(t) = { 1/ε (0≦t≦ε) , 0 (0ε)}

となるような関数である。ここでεを0向かう極限にした時の

δ(t) = lim[ε→0]{δ_ε(t)}

を単位インパルス関数(デルタ関数)という。つまり、入力の開始した瞬間に非常に大きな値を入力する関数である。
この単位インパルス関数をシステムの入力とした時の出力をインパルス応答という。

このとき

int[0-∞]{δ(t)}dt = 1

である。


2.単位ステップ関数

単位ステップ関数とは

U_s(t) = {0 (t<0) , 1 (t≧0)}

となるような関数である。つまり、開始と同時に単位値の入力が続くものである。

さらに、この単位ステップ関数を入力としたときの出力を単位ステップ応答という。

3.単位ランプ関数

tU_s(t) = {0 (t<0),t (t≧0)}

となる関数を単位ランプ関数という。つまり、開始と同時に入力値が時間に比例しながら増加していくものである。
これを入力としたときの出力を単位ランプ応答という。

3.1.2 基本関数のラプラス変換

ラプラス変換の定義式

F(s) = L[f(t)] = int[0-∞]{f(τ)*e^(-sτ)}dτ

から基本関数のラプラス変換を考える。

最も簡単なのは単位ステップ関数で

L[U_s(t)] = int[0-∞]{U_s(t)*e^-st}dt

ここでU_s(t)はRe[s]>0の時に常に1なので

L[U_s(t)] = int[0-∞]{U_s(t)*e^-st}dt = int[0-∞]{e^-st}dt = 1/s

となる。

また、単位ランプ関数tU_s(t)はRe[s]>0のときtなので部分積分法を用いれば簡単で

L[U_s(t)] = int[0-∞]{t*e^-st}dt = [0-∞]{-1/s*t*e^-st} - int[0-∞]{-1/s*e^-st}dt = 1/(s^2)

となる。

また、単位インパルス関数はインパルス関数を元に考えると

インパルス関数は0
Lap[δ_ε(t)] = int[0-∞]{δ_ε(t)*e^-st}dt = int[0-ε]{1/ε*e^-st}dt = (1-e^-sε)/(εs)

である。ここでイプシロンを0に向かう極限とすると、

lim[ε→0]{(1-e^-sε)/(εs)} = 1

である。

次に、余弦関数cosωt (t≧0)のラプラス変換を求める。

オイラーの公式を用いる。

cosωt = (e^iωt+e^-iωt) / 2

であるので、ラプラス変換はRe[s]>0のとき、

L[cosωt] = int[0-∞]{cosωt*e^-st}dt = int[0-∞]{(e^iωt+e^-iωt)*e^-st/2}dt
= 1/2*int[0-∞]{(e^((iω-s)*t)+e^(-(iω+s)t))}dt

= 1/2 * (1/(s-ωi)+1/(s+ωi)) = s/(s^2+ω^2)

となる。

問題3.1

e^-atをラプラス変換する

ちゃかちゃか計算して

L[e^-at] = 1/(a+s)

次、t*e^-atのとき

L[t*e^at] = 1/(a+s)^2

次、sinωt

L[sinωt] = ω/(s^2+ω^2)


というように計算したけどひたすらめんどくさいので普通はラプラス変換表を使う。
また、ラプラス変換は線形性を持つので、線形に分解できる。
例えば

f(t) = 2*e^-3t + 3t + 4t^2

のラプラス変換は

L[2*e^-3t + 3t + 4t^2] = 2*L[e^-3t] + 3*L[t] - 4*2!*L[t^2/2!]

= 2*1/(s+3) + 3*1/s^2 - 8*1/s^3

となる。

問題3.2

f(t) = 3 -e^-2t + 2*e^t

= 3/s - 1/(s+2) + 2*1/(s-1)

f(t) = t + t^2 + t^3

= 1/s^2 + 2*1/s^3 + 6*1/s^4

f(t) = 2*sin3t + cos2t

= 6/(s^2+9) + s/(s^2+4)

f(t) = 1 - e^(-3t)*cost

= 1/s - (s+3)/((s+3)^2+1)

f(t) = 3*t^2*e^-2t

= 3*2!*t^2/2!*e^-2t

= 6/(s+2)^3

f(t) = e^-2t*(sin3t+cos3t)

= e^-2t*sin3t + e^-2t*cos3t

= (s+2)/((s+2)^2+9) + 3/((s+2)^2+9) = (s+5)/(s^2+4s+13)


これでも充分めんどくさい

3.1.3 逆ラプラス変換

ラプラス変換した関数から元の関数に戻す、つまり逆関数を

f(t) = L_-1[f(s)] (t≧0)

と表す。これをラプラス逆変換という。

例えば

f(s) = 1/s-1/(s+5)

線形性から

f(s) = L_-1[1/s] - L_-1[1/(s+5)]

= 1 - e^-5t

次、f(s) = 1/(s^2+s+1)

f(s) = 1/((s+1/2)^2+3/4)

= 1/((s+1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)

= sqrt(3)/2 * (sqrt(3)/2)/((s+1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2)

ここで第二項がe^-at*sinωt式なので

= 2/sqrt(3) * e^-(t/2)*sin(sqrt(3)/2)t

となる。めんどくさい。


問題3.3 ラプラス逆変換を求める

(1) f(s) = 3/(s+2) + 2/s

= L[3*e^-2t + 2]

(2) f(s) = 1/(s+1)^3

= L[t^2/2*e^-t]

(3) f(s) = (s+1)/(s^2+25)

= L[s/(s^2+5^2) + 1/(s^2+5^2)]

= L[cos5t + 1/5*sin5t]

(4) f(s) = (2s+5)/(s^2+2s+5)

= L[2*(s+5/2)/(s+1)^2+2^2]

= L[ 2*{(s+1)/((s+1)^2+2^2) + (3/4)*2/((s+1)^2+2^2)}]

= L[2{e^-t*cos2t + 3/4*e^-t*sin2t}]

まとめ

システムの振る舞いを調べるために、代表的な入力関数を与えて、出力を見ることで示す。

単位インパルス関数 δ_ε(t) = { 1/ε (0≦t≦ε) , 0 (0ε)}でδ(t) = lim[ε→0]{δ_ε(t)}

単位ステップ関数 U_s(t) = {0 (t<0) , 1 (t≧0)}

単位ランプ関数 tU_s(t) = {0 (t<0),t (t≧0)}

の三つが代表的な基本信号となる。

また、これらのラプラス変換を考えた。
この際、頑張って計算するのはめんどくさいので大体はラプラス変換表を用いる。


わからないところ

今回はとくになし。信号関数の定義域がt>0のとき、ラプラス変換後の定義域は
Re[s]>0となる。これはラプラス変換後のラプラス演算子sの実数領域のみを見ることを表すが
値の対応はそのままでいいのだろうか?

制御工学その5

2.7 MATLAB(scilab)を利用した演習



お金が無いので以下MATLABはScilabで代用

MATLABでは、関数tfやzpkを用いてモデルを伝達関数で表すことが出来る。
tfはtransfer functionの略っぽい。P(s)の分母、分子をそれぞれ与えることで伝達関数を返す。

scilabだとそんなのないっぽい。syslin関数でなんとかなるというか、そのまま分数の形でどうにかするしかないか。
zpkはscilabだとどうなんだろう。わからん。やっぱmatlab欲しいわ

極、零点

零点はそのままroots関数で行ける極は分母のroots関数で行けるかな。

問題2.10

以下scilab出力

>sysP = (s^2+2*s+3)/(4*s^4+5*s^3+s^2+s+5);

-->sysP
sysP =

2
3 + 2s + s
------------------
2 3 4
5 + s + s + 5s + 4s


これで伝達関数ができて
ここに極(分母の根)と零点(分子の根)を求めるコマンドを叩く


->z = roots(numer(sysP))
z =

- 1. + 1.4142136i
- 1. - 1.4142136i

-->z = roots(denom(sysP))
z =

0.4792748 + 0.7520813i
0.4792748 - 0.7520813i
- 1.1042748 + 0.5935072i
- 1.1042748 - 0.5935072i


というわけさ。

zpkってzero,pole,gainなんだな。zeroとpoleは前述の方法で楽に求まるけど、gainってどうやって計算するんだろう。

まあいいかスルーで。

垂直駆動アームでの応用例。

l=0.204
M=0.390
J=0.0712
c=0.695
g=0.981

とそれぞれパラメータを与えた上で、伝達関数

P(s) = 1/(J*s^2+c*s+M*g*l*cos(ye))

ye = 0のとき


numP =

1.

-->denP = J*s^2+c*s+M*g*l*cos(ye)
denP =

2
0.7804836 + 0.695s + 0.0712s

-->sysP = numP/denP
sysP =

1
---------------------------
2
0.7804836 + 0.695s + 0.0712s


極は


>pole = roots(denP)
pole =

- 1.2947313
- 8.4665047


ye = πのとき

伝達関数と極は


->sysP = numP/denP
sysP =

1
---------------------------
2
- 0.7804836 + 0.695s + 0.0712s

-->pole = roots(denP)
pole =

1.0170324
- 10.778268




問題2.11

単位を合わせるためμとかミリをとる。

R=290
C=0.000001
L=0.1

伝達関数は

P(s) = 1/(CLs^2+RCs+1)

scilabで計算してみる

まずは伝達関数

sysP =

1
-------------------------
2
1 + 0.00029s + 1.000D-07s





-->pole = roots(denP2)
pole =

- 1450. + 2810.2491i
- 1450. - 2810.2491i


まとめ
matlabで便利そうなsyntaxはscilabではほぼ使えない。自力で何とかする。
ゲイン等は触scilabでは触ってない。参考書も触ってないのでのちのち触るんだろう。

わからないところ
特にはないけどscilabとmatlabの互換がちょっとこわい

英語その8

§8

flammable : 可燃性の
cabin : 客室
Vienna : ウィーン
on account of : ~が理由で
minor : 小さな

This plane is fallen and been minor cakamity account of flammable cabin.

blow up : 爆発する
plunge into : ~に飛び込む
on board : ~に乗っている
around the clock : 昼夜休まず
aviation : 航空の

Servant of aviation company who was on board is working around the clock, so they will blow up and plunge into ocean too soon.

on behalf of : ~を代表して
staff : 社員
express : 表現する
in a sence : ある意味では
be to blame : ~が~のせいだ
inspect : 検査する
defect : 異常

I have to inspect yours on behalf of crew, to never overlook any defects.
In a sence, staff is to blame for this result.

制御工学その4

2.5 ラグランジュの運動方程式による力学系の導出



単純な構造の力学系は、力の釣り合いによって微分方程式を得ることができた。
が、力学系が多リンクマニピュレータなどの複雑な構造になると微分方程式の導出は困難である。
このような場合、ラグランジュの運動方程式から導く。

ラグランジュの運動方程式は

d(∂T/∂q_i'/dt - ∂T/∂q_i + ∂U/∂q_i + ∂D/∂q_i = v_i

である。ここで
Tは運動エネルギー
Uは位置エネルギー
Dは損失エネルギーである。また、

q_i (i=1,2,3,..p)
は一般化座標
v_i (i=1,2,3...p)
は一般化力
である。

一般化座標は、それぞれの質点におけるp個の角や位置であり、一般化力は質点における外部から加わる力やトルクである。

例2.5

垂直駆動アーム

前節で扱った垂直駆動アームをラグランジュの運動方程式で表すことを考える。
アームの中心座標を角度で合わすと、(-l*sinθ(t),-l*cosθ(t))となる。
そのため位置エネルギー、運動エネルギー、損失エネルギーはそれぞれθ(t)のみで以下のように表される。

T = 1/2*J*θ'(t)^2
U = -M*g*l*cosθ(t)
D = 1/2*c*θ'(t)^2

これを用いて運動方程式をたてる。一般化座標はq(t)=θ(t)の一種類、一般化力をτ(t)とすると

d(J*θ'(t))/dt - 0 + M*g*l*sinθ(t) + c*θ'(t) = τ(t)

つまり

J*θ''(t) + c*θ'(t) + M*g*l*sinθ(t) = τ(t)

という非線形微分方程式が得られる。


問題2.7

u(t) = f(t)
y(t) = z(t)

とすると、ラグランジュの運動方程式より

1/2*m*y'(t)^2をy'(t)で偏微分したものm*y'(t)の時間微分が左辺第一項
位置エネルギーはなし、損失エネルギーは1/2*c*y'(t)^2のy'(t)での偏微分c*y'(t)

m*y''(t) + c*y'(t) = u(t)

となる。


2.6 モデルの標準形



今までに取り上げたのは、力学系、電気系のみであったが、熱系、電磁気系などさまざまな系が考えられる。
これらの物理系のあいだには似通った関係がある。例えば台車とバネ、ダンパは問題2.5でやったように

P(s) = 1/(Ms+c)

であるし、RL回路の関係は

P(s) = 1/(Ls+R)

である。これらは伝達関数が同じ形式になっている。
このように、制御工学の分野では電気系などの系を考えずに物理システムの違いを捉えたい。
そこで、1次遅れ系、2次遅れ系といった標準モデルで動的システムを捉えることを考える。

1次遅れ系

一次遅れ系とは、伝達関数が

P(s) = K/(1+Ts)

で表されるものである。ここで遅れとは、例えば入力が正弦波のときに、出力の正弦波の位相が遅れていることを意味する。

Tは時定数と呼ばれ、システムの立ち上がりに関するパラメータである。
今までに示した例では、RC回路やRL回路、問題2.5の台車などが一次遅れ系である。

例2.6

RL回路の伝達関数を一次遅れ系の標準形で表す。

P(s) = 1/(Ls+R)

であるので、これを標準形にすると

P(s) = (1/R)/(1+(L/R)s)

となる。

問題2.5

台車の伝達関数は

P(s) = 1/(Ms+c)

である。構造が例題と全く同じで標準形は

P(s) = (1/c)/(1+(M/c)s)

となる。

2次遅れ系

2時遅れ系とは、伝達関数が

P(s) = Kω_n^2/(s^2+2ξω_n*s+ω_n^2)

という形で表されるものである。ここで
ξは減衰関数
ω_nは固有角周波数
と呼ばれ、それぞれシステムの減衰性、システムの即応性に関するパラメータである。

今までに示した例では、RCL回路や、垂直駆動アーム(の近似)や、バネ・ダンパ系が2時遅れ系である。


例2.7

垂直駆動アームの伝達関数は、t=0の近傍で

P(s) = 1/(Js^2+cs+Mgl)

となる。これを標準形で表すと

P(s) = (1/J)/(s^2+(c/J)s+(Mgl/J))

となる。ここからまずω_nは

ω_n = sqrt(Mgl/J)

と定まる。よって

K = 1/Mgl

また2*ξ*ω_n = c/Jよりξ = c/(2*J*sqrt(Mgl/J))

よって

ξ = c/(2*sqrt(MglJ))

となる。

問題2.8

例2.2のRCL回路の伝達関数は

P(s) = 1/(CLs^2 + RCs + 1)

標準形に治すと

P(s) = (1/CL)/(s^2 + (RC/CL)s + (1/CL)

ω_n = sqrt(1/CL)
K = 1

2*ξ*ω_n = RC/CLより

ξ = (RC/CL)*1/2*1/sqrt(1/CL) = RC/(CL*2*sqrt(1/CL) = RC/2sqrt(CL) = R/2*sqrt(C/L)

となる。


伝達関数の標準形にはその他様々な種類がある。以下に一覧を書く

比例要素 P(s) = K
微分要素 P(s) = Ks
積分要素 P(s) = K/s
一時進み要素 P(s) = K+Ts
位相進み要素 P(s) = α*(1+Ts)/(1+αTs) (0<α<1)
位相遅れ要素 P(s) = (1+Ts)/(1+αTs) (0<α<1)
むだ時間要素 P(s) = e^(-Ls)

ここで、特殊な伝達関数であるむだ時間要素に関して、
たとえばむだ時間要素となるようなものは、水流において、入り口と出口の距離があるようなシステムである。

入水量をu(t),出水量をy(t)とし、パイプ内の水が進む速度をv(t),パイプの長さをlとすると
y(t)はu(t)よりもL=l/v(t)時間だけ遅れて出てくる。なのでシステムは

y(t) = u(t-L) (L>0)

となる。また、0ここでT=t-Lとおき、両辺をラプラス変換すると左辺はそのままY(s)
右辺は

L[u(t-L)] = int[0-∞]{u(t-L)*e^-st}dt

t = T+Lなので

L[u(t-L)] = int[0-∞]{u(t-L)*e^-st}dt = int[0-∞]{u(T)*e^-s(T+L)}dT*dt/dT = e^-Ls * int[0-∞]{U(T)*e-sT}dT = e^-Ls * U(s)

よってこれはむだ時間要素となる。

英語その7

例文がワンパターンな気がする

§7

cut ~ off : ~の話を遮る
wind ~ up : ~を終にする
vote : 投票、決
frank : 率直な
consensus : まとまった意見
be yet to : まだ~していない
regarding : ~に関して

Argument is yet to be done enough, take a vote regarding this matter for reach to consensus.
He cut me off and talk to me frank.

view : 考え
go over : ~をよく見る、説明する
make out : 理解する
be getting at : ~を言おうとしている。意図している
back up : 支持する、後援する
eventually : 最終的には
talk into ~ : 説得して~させる
go along with : 賛成する

I may go along with your view if you go over about it to make out.
He was getting at something, but eventually,noone backs up his attitude.
Please talk him into come out from his room.

admire : 感服する
perseverance : すごい努力
flatter : お世辞を言う
rely : ~を頼る
instinct : 本能

I admire so your perseverance and to flatter to person whom you are about to rely,
and your instinct to indentify someone whom so.

come up with : ~を考えだす
ingenious : 独創的な
sensitive : 賢明な
immediately : 直ちに
put into practice : 実行に移す

His ingenious and sensitive point is putting immediately what he came up with into practice.

objective : 客観的な
former : 前者
inferior : 劣る
latter : 後者
live up to our expectation : 期待に答える

From objective viewpoint,former is not always inferior lattar just because it lives up to our expectation.

despite : ~にもかかわらず
endeavors : 努力
make up for : 埋め合わせる
lack : 不足
firsthand : 直接の、実地の

Do you think you can make up firsthand for lack despite you have no experience of endeavors.

capacity : 能力
overcome : 克服する
obstacle : 障害
solid : しっかりした
deal : 取引
fall through : うまく行かない

Without solid capacity, can't overcome obstacle of deal.
you'll fall through.

英語その6

文を作れとか、正直わっちの貧弱な英作文知識じゃキツイ感ある

§6

for here or to go : ここで食べるor持ち帰る
rug : 敷物
be in : 流行っている
get out : 降りる
cab : タクシー
keep the change :お釣りはいらない

Saying "keep the change" is in as well as saying "for here or to go"
I got out from the cab soon because it had so dirty rug.

slight : わずかな
charge : 料金
customer : 客
treat: ご馳走する
It's on me : 私のおごりだ
eat out : 外食

The customers who can't pay slight charge has no qualification to treat when they eat out, It's on me.

hang out : ぶらぶらする
run into : 偶然であう
withdraw : 引き出す
deposit : 預ける
rob : 強奪する
purse : かばん

If you withdraw and deposit over and over, you'll run into the man hanging out to rob your purse.

odd: 奇妙な
curfew : 門限
proverb : ことわざ
end : 目的
justify : 正当化する
means : 手段
turn to : 頼る
stand on my own two feet : 自立する

There is odd proverb.It says "Justify means by end".
I've stood on my own two feet, so I don't need curfew and I never turn to anyone.

英語その5

今回から、自力で例文を作ってみる。ボトムアップに英語をつくるとは実に難しい。
トップダウンに解析ならできるのは、やっぱり最初の段階で可能性が制限されるからだろうか。

というかこの文あってんのほんとに。あってるはずがない自信はある。


§5

entitle to : ~する権利がある
compensate A for B : Bを補償する
injurely : けが、負傷
so far : 現在までに
no less than : ~もの
flu : インフルエンザ
epidemic : 流行

we entitle to learn about what to do when flu epidemic happens.
I have created no less than 100 injurelies, but never been copensated for them.

pill : 錠剤
intense : 強烈な
brief : 短時間
habit : 癖
disgusting : ぞっとするような

The pill effects brief, but bring about a disgusting intense habits for users.

strain : 痛める
bent down : 腰をかがめる
stiff : 固い
herbal : 薬草の、ハーブの
remedy : 治療

I bented down to take herb on stiff rock, for my friend strained his leg.

benefits : 利益
apply : 適用する
cattle : 牛
let alone : なおさら
evolution : 進化

I have huge benefits because applying artificial evolution to cattle.
Let alone to human, I'll get money beyond my imagination.

boast : 自慢げに話す
ethical : 倫理上の
oppose : 反対する
sympton : 症状
sore : 痛み
throat : 喉

I saw a man boasting about that he oppose prevent sympton by drag.
Regardness of his assertion , My sore throat is never dissapear.

Owing to : ~のために
representative : 代表者
annual : 年に一度の
little by little : 徐々に
genuine : 本物の
no way : まさか

Attendance rate of Representative on conference are decrease little by little owing to decrese of genuine speecher.

制御工学その3

2-3 電気系のモデル



電気系の微分方程式(回路方程式)を求める際以下の関係式を用いる

i(t) = d(q(t))/dt (電流=電荷の時間微分)
v(t) = R*i(t)   (電圧=抵抗*電流)=抵抗
v(t) = 1/C*int{i(t)}dt (コンデンサの電圧=容量の逆数*電流の積分)=コンデンサ
v(t) = L*di(t)/dt (電圧=インダクタンス*電流の微分)=コイル

これとキルヒホッフの法則を用いれば、電気系のモデルを得ることが出きる。

キルヒホッフの法則
1.ある電気回路の節点において、流れ込む電流と流れだす電流は等しい。
2.電気回路の中の任意の閉路において、電圧の変化の総和は0になる。

つまり、電圧中心にして、閉回路全体の電圧変化の総和が0になるような式を立てることが出来る。
たとえば

例2.1 RL回路

電源、コイル、抵抗が直列につながっている回路ならば

Vin(t) = L*di(t)/dt + R*i(t)

という式がたつ。ここで入力u(t)をVin(t),出力y(t)を電流i(t)とすれば

u(t) = L*y'(t) + R*y(t)

という式になる。これをラプラス変換し、伝達関数を作れば

P(s) = 1/(Ls+R)

となる。

例2.2 RCL回路

電源、コイル、抵抗、コンデンサが直列に並んでいるならば

Vin = L*di(t)/dt + R*i(t) + 1/C*int{i(t)}dt

という式が立つ。ここで入力u(t)をVin(t)、出力y(t)をコンデンサの電圧Vout(t)とすれば

u(t) = L*di(t)/dt + R*i(t) + y(t)

y(t) = 1/C*int{i(t)}dt

y'(t) = 1/C*i(t)
より
i(t) = C*y'(t)

よって

u(t) = L*C*y''(t) + R*C*y'(t) + y(t)

ラプラス変換し伝達関数にすると

P(s) = 1/(LCs^2+RCs+1)


問題2-2

u(t) = Vin(t)
y(t) = q(t)
i(t) = y'(t)

Vin(t) = R*i(t) + L*i'(t) + 1/C*int{i(t)}dt

u(t) = R*y'(t) + L*y''(t) + 1/C*y(t)

P(s) = C/(CLs^2+CRs+1)

問題2-3-(1)
u(t) = Vin(t)
y(t) = i(t)

Vin(t) = R*i(t) + 1/C*int{i(t)}dt

u(t) = R*y(t) +1/C*`y(t)

U(s) = R*Y(s) + 1/C*1/s*Y(s) = Y(s)*(RCs+1/Cs)

P(s) = Cs/(RCs+1)

問題2-3-(2)

u(t) = Vin(t)
y(t) = Vout(t)

Vin(t) = R*i(t) + 1/C*int{i(t)}dt

y(t) = 1/C*int{i(t)}dt

y'(t) = 1/C*i(t)

i(t) = C*y'(t)

u(t) = C*R*y'(t) + y(t)

P(s) = 1/(CRs+1)


2-4 力学系のモデル(力の釣り合いによる導出)



力学系の微分方程式を求める際、以下のような運動方程式を用いる

直線運動
F(t) = M*z''(t)

回転運動
T(t) * J*θ''(t)

ここで、z,θは直線、角それぞれの変位であり、Jは慣性モーメント、Tはトルクである。

以下にちょっとした例を挙げる

(a) バネにより生じる力(トルク)

バネによる力は変位に比例するので

M*z''(t) = -k*z(t)

回転運動の運動方程式は

J*θ''(t) = -k*θ(t)

ただしkはバネ係数である。
となる。

(b) ダンパにより生じる力

ダンパによる力は直進運動、回転運動ともに変位速度に比例するので

M*z''(t) = -c*z'(t)
J*θ''(t) = -c*θ'(t)

となる。ここでcはダンパ係数である。

また、物体に働く摩擦力は粘性摩擦とクーロン摩擦の和で表されることが多いが、
クーロン摩擦を無視すれば粘性摩擦による力はダンパによる力と同じく、速度に比例する。
つまり

M*z''(t) = -c*z'(t)
J*θ''(t) = -c*θ'(t)

である。ここでcは粘性摩擦係数である。

例2.3 台車

先の粘性摩擦を考え、台車の直進運動を考えると、運動方程式は

M*z''(t) + c*z'(t) = f(t)

となるため、入力をf(t)とし、出力を台車の位置z(t)とすれば、

u(t) = c*y'(t) + M*y''(t)

という式が立つ。これをラプラス変換し、伝達関数にすると

P(s) = 1/(Ms^2+cs)

となる。

問題2-4

粘性摩擦を持つ水平駆動アームを考える。

J*θ''(t) + c*θ'(t) = T(t)

というトルク運動方程式がたつので、
入力をトルクT(t)、出力を回転角θ(t)とすると

u(t) = J*y''(t) + c*y'(t)

となるので伝達関数は

P(s) = 1/(Js^2+cs)

となる。

問題2-5

台車は

M*z''(t) + c*z'(t) = f(t)

入力がf(t),出力がz'(t)なので

f(t) = c*y(t) + M*y'(t)

よって伝達関数は

P(s) = 1/Ms+c


問題2-6

f(t) - c2*z'(t) -k*z(t) - c1*z'(t) = M*z''(t)

という式になるはず。
入力u(t) = f(t)
出力y(t) = z(t)
とすると

u(t) = c2*y'(t) + k*z(t) + c1*y'(t) + M*y''(t)

伝達関数は

P(s) = 1/(Ms^2+c2s+c1s+k)


以上の例で表した制御対象の微分方程式は線形であった。
そのため制御対象を伝達関数で表現することが出来た。
しかし、一般に制御対象の微分方程式は非線形となる。

例として、非線形な制御対象である垂直駆動アームを考える。


アームの基準位置からの角度の変位をθ、アームに加わるトルクをτ(t),アームの質量をM、軸から重心までの長さをl
慣性モーメントをJ、軸の粘性摩擦係数をcとする。
この時、重力Mgのアームに垂直な成分はMg*sinθ(t)であるため、アームにかかる重力トルク(力のモーメント)は

M*g*sinθ(t)*l

である。したがって運動方程式は、トルクに摩擦と重力による反発を加味したものが実際の運動となるので

τ(t) - c*θ'(t) - M*g*l*sinθ(t) = J*θ''(t)

となる。
したがって入力をトルク、出力を変位とすると

u(t) = J*y''(t) + c*y'(t) + M*g*l*siny(t)

となる。これは非線形微分方程式である。
このままでは伝達関数で表現することが出来ないため近似的に線形化することを考える。

y(t)=y_eの近傍で振舞うと仮定する。

y(t) = y_eでアームが静止しているときは、操作量の式は

u_e = M*g*l*siny_e

となる。このような、動的システムの動きが落ち着くような点(y_e,u_e)を平衡点と呼ぶ。
また、y(t) = y_eのまわりでsiny(t)をテイラー展開し1次までの項で近似すると、

siny(t) ≒ siny_e + d(siny(t))/dy(t)|(y(t)=y_e)*(y(t)-y_e)

となるため結局

siny(t) = siny_e + cosy_e*(y(t)-y_e)

となる。この近似は、曲線siny(t)を(y_e,siny_e)における接戦で近似することに相当している。

y2(t) = y(t) - y_e
u2(t) = u(t) - u_e

とすると

J*y2''(t) = J*y''(t)

これは微分すると定数y_eが消えるため。

これによって

J*y2''(t) = -c*y2'(t) - M*g*l*siny(t) + u2(t) + u_e

となり、

siny(t)を近似すると

J*y2''(t) = -c*y2(t) - M*g*l*(siny_e+cosy_e*y2(t)) + u2(t) + u_e

u_e = M*g*l*siny_e
なので

u2(t) = J*y2''(t) + c*y2'(t) + M*g*l*cosy_e*y2(t)

という線形微分方程式の形になる。

ここからラプラス変換し、伝達関数を作ると

P(s) = 1/(Js^2+cs+Mglcosy_e)

となる。ここでy_e=0とすると、

u_eも0となるので

y2(t) = y(t) - y_e
u2(t) = u(t) - u_e

より、u(t)からy(t)への伝達関数が作れ、

P(s) = 1/(Js^2+cs+Mgl)

となる。

最初の近似が何言ってるかわからない!


まとめ

2-3

電気回路の話。回路方程式をキルヒホッフの法則とそれぞれの素子に関する電圧、電流との関係から導く。

素子の関係

i(t) = d(q(t))/dt (電流=電荷の時間微分)
v(t) = R*i(t)   (電圧=抵抗*電流)=抵抗
v(t) = 1/C*int{i(t)}dt (コンデンサの電圧=容量の逆数*電流の積分)=コンデンサ
v(t) = L*di(t)/dt (電圧=インダクタンス*電流の微分)=コイル


キルヒホッフの法則

1.ある電気回路の節点において、流れ込む電流と流れだす電流は等しい。
2.電気回路の中の任意の閉路において、電圧の変化の総和は0になる。


2-4

力学系のモデル。

回転系、直進系それぞれの運動方程式から入力と出力の関係を求める。
また、多くの場合非線形微分方程式となるため、なんとかして線形に近似する。


わからないところ

2-4

y_eの近傍で振舞うってどういうこと?y(t)がy_eの近傍でほとんど変化しないってこと?
それって意味あんの?しかも出力だし。どういう仮定なんだろうか。

英語その4

明日からは例文的なものをつくってみようと思う。時間かかりすぎたら中止。


§4

county : 郡
remote : 離れた
electricity : 電気
inhabit : 住民
expose A to B: AをBにさらす
cannot - too much : してもしすぎることはない
emphasize : 強調する
press : 報道機関
overlook : 見落とす
if anything : むしろ
make too much of A : Aに対して重視する
cultivate : 栽培する
grain : 穀物
grocery : 食料雑貨店
establish : 設立する
consult : 相談する
in person : 直接会って
by far : 間違いなく
prominent : 傑出した
attorney : 弁護士
write down : 書き留める
just in case : 念のため
insurance : 保険

英語その3

§3

beg : すがる、お願いする
buck : ドル
shake one's head : 首を横に振る
be broke : お金が無い
apt to : ~しがちである。
on sale : バーゲン
ordinary : 普通の
afford to : ~に費やす
luxury : ぜいたく品
anticipate : 予測する
unemployment : 失業
in a row : 連続で
expence : 出費
track : ~の動きを記録する、トレースする
on a basis : ~の基準で
compromise : 妥協する
extent : ~の程度
conpetent : 技能のある
demand : 需要
earn : 稼ぐ
decent : かなり良い
wage : 賃金
carry out : 実行する
welfare : 福祉
no doubt : きっと
dismal : 気分の悪い
consequence : 結果
thorough : 根本的な
review : 見直し
inevitable : 避けられない
indicate : 示す
deliquency : 非行
district : 地区
lots : 地区
vacant : 誰もいない
density : 密度
granudally: 徐々に
in an likelihood : ほぼ間違いなく
decline : 減少する
standily : 着実に
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