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制御工学その22

6.3 基本要素の周波数特性 続き

6.3.2 二次遅れ要素

二次遅れ系

P(s) = ωn^2/(s^2+2*ζ*ωn*s+ωn^2)

の周波数伝達関数は、

P(iω) = ωn^2/(-ω^2 + 2*ζ*ωm*ωi + ωn^2)

η = ω/ωnとすると

P(iω) = 1/((1-η^2) + 2ζηi)

となる。なので、ゲイン、位相差はそれぞれ

G_g = |P(iω)| = 1/sqrt((1-η^2)^2 + 2ζη^2)

G_p = ∠P(iω) = -tan-1(2ζη/(1-η^2))

となる。この時

ω << ωn (η ≒ 0 )の時

G_g = 20log(10){|P(iω)|} ≒ 20log(10){1} = 0
G_p = ∠P(iω) ≒ -tan-1(0) = 0

ω = ωn (η = 1)のとき

G_g = 20log(10){|P(iω)|} ≒ 20log(10){1/2ζ} = -20log(10){2ζ}
G_p = ∠P(iω) ≒ -tan-1(∞) = 90

ω >> ωn (η ≒ ∞)のとき

G_g = 20log(10){|P(iω)|} ≒ 20log(10){1/η^2} = -40log(10){η}
G_p = ∠P(iω) ≒ -tan-1(0) = -180

この時、d/dη(-tan-1(2ζη/(1-η^2))) = -1 * 1/1+2ζη/(1-η^2)^2 * 2ζ(1-η^2) - 2ζη*-2η/(4η) = -1 * X(X>0) * (2ζ + 4ζη^2) /4ζ
ただし X = 1/1+2ζη/(1-η^2)^2 で、これは単調減少なので、G_p = -180となる

ω = ωn付近では、減衰係数ζの値によって、ゲインが0を超えたり超えなかったりする。
ゲインが0を越える場合その周波数領域では、入力振幅より出力振幅のが大きくなるため、共振が起こる。その時の範囲を求める。

入力としてu(t) = A*sinωtを与えると、ゲインと位相差は分かっているので出力は

y(t) = A/sqrt((1-η^2)^2 + 2ζη^2)*sin(ωt + -tan-1(2ζη/(1-η^2)))

したがって、y(t)が最大となる条件は、

a(η) = sqrt((1-η^2)^2 + 2ζη^2)が最小となる時である。

a(η)を微分すると

a(η)' = 4η(n^2+2ζ-1)

となるので、これの根=極点は

η = 0, ±sqrt(1-2ζ^2)

である、そのため、ζの値によって実数根の数が異なり

(1)0<ζ
a(0) = 1
a(sqrt(1-2ζ^2)) = (1-1+2ζ^2)^2 + 2*ζ*sqrt(1-2ζ^2) = 4ζ^4 + sqrt(2ζ-4ζ^3)

なのでη = sqrt(1-2ζ^2)のとき最小値を取り、

ピーク周波数

ωp = ωn*sqrt(1-2ζ^2)

の時y(t)の振幅が最大値となり、その時の共振ピークは

Mp = 1/(2ζ*sqrt(1-ζ^2))

である。

(2) ζ > sqrt(1/2)

の時、実数解は0のみで、あるので、振幅の最大値はAであり、入力振幅を越えることはない、

以上より、共振は0<ζ
2次遅れ系の周波数特性をいかにまとめる。

・低周波数 0<ω<<ωn
 ・ゲイン、位相の遅れ共にほぼ0

・高周波数 ω >> ωn
 ・ゲインは-40[dB/dec]で減少し、位相は最大で180°遅れる

・バンド幅
 ・ωnが大きくなるとバンド幅も大きくなるため、速応性が向上する

・ピーク周波数
 ・減衰係数ζが 0<ζsqrt(1/2)のとき共振が生じ、共振ピークは 1/(2ζ*sqrt(1-ζ^2))となる。
  したがって、安定度は減衰係数ζ飲みに依存し、ζが0に近づくと収束性が悪くなる。


6.3.3 比例要素と積分要素、微分要素


(a)比例要素

比例要素P(s) = K

のゲイン、位相差はそれぞれ

G_g = K
G_p = 0

であるので、周波数ωに依存せず常に一定である。

(b)積分要素

積分要素P(s) = 1/Tsについて考える。

ゲイン、位相差はそれぞれ

G_g = 1/ωT
G_p = tan-1(1/ωT/0) = -90°

なので、ゲインは高周波数になるにつれ-20[dB/dec]で減少し、位相差は常に-90°である。

(c)微分要素

P(s) = Tsについて考える。
ゲイン、位相差はそれぞれ

G_g = ωT
G_p = -tan-1(ωT/0) = 90°

したがってゲインは高周波数になるにつれ20[dB/dec]で増加し、位相差は常に90°である。

何で符号が違うんだろうか。

6.3.4 一次進み要素

P(s) = 1+Ts

について考える。
ゲイン、位相差はそれぞれ

G_g = sqrt(1+ωT^2)
G_p = tan-1(ωT)

となる。したがって、ゲインは高周波数ω >> 1/Tでは20[dB/dec]で増加し、位相差は90°進んでいる
また、低周波数では位相差は殆ど無い。

6.3.5 高次要素のボード線図

以上の基本要素を用いると、基本要素の積で表される関数を簡単に表すことができる。つまり

G_g = 20log(10){|P(iω)|} = Σ[1-n]{20log(10){Pi(iω)}}
G_p = ∠P(iω) = Σ[1-n]{∠Pi(iω)}

である。したがって、基本要素のボード線図を足したものがp(s)のボード線図となる。

例略

MATLABらへんのときにやってみる

問題6.8

むだ時間要素のベクトル軌跡を考える

(1) P(s) = e^-Ls

P(iω) = e^-Lωi = cosLω - i*sinLω

よってゲイン|P(ωi)| = 1


ω = 0 のとき

∠P(ωi) = -tanLω = 0

で円である。

(1) P(s) = e^-Ls/1+Ts

L =1 ,T =0.2なので

P(iω) = e^-ωi/1+0.2ωi

|P(ωi)| = 1*1/sqrt(1+0.04ω^2)
∠P(ωi) = -tanLω + -tan-1(Tω) = -tanω - tan-1(0.2ω)

となり、うずまき状になる。

まとめ

前回からの続きで、様々な基本要素の周波数特性を調べた。
以下にそれぞれのまとめを書く

(1)2次遅れ系

・低周波数 0<ω<<ωn
 ・ゲイン、位相の遅れ共にほぼ0

・高周波数 ω >> ωn
 ・ゲインは-40[dB/dec]で減少し、位相は最大で180°遅れる

・バンド幅
 ・ωnが大きくなるとバンド幅も大きくなるため、速応性が向上する

・ピーク周波数
 ・減衰係数ζが 0<ζsqrt(1/2)のとき共振が生じ、共振ピークは 1/(2ζ*sqrt(1-ζ^2))となる。
  したがって、安定度は減衰係数ζ飲みに依存し、ζが0に近づくと収束性が悪くなる。


(2)比例、積分、微分要素

(a)比例要素

比例要素P(s) = K

G_g = K
G_p = 0

であるので、周波数ωに依存せず常に一定である。

(b)積分要素

積分要素P(s) = 1/Ts

G_g = 1/ωT
G_p = tan-1(1/ωT/0) = -90°

なので、ゲインは高周波数になるにつれ-20[dB/dec]で減少し、位相差は常に-90°である。

(c)微分要素

P(s) = Tsについて考える。

G_g = ωT
G_p = -tan-1(ωT/0) = 90°

したがってゲインは高周波数になるにつれ20[dB/dec]で増加し、位相差は常に90°である。


(3)一次進み要素

P(s) = 1+Ts

G_g = sqrt(1+ωT^2)
G_p = tan-1(ωT)

となる。したがって、ゲインは高周波数ω >> 1/Tでは20[dB/dec]で増加し、位相差は90°進んでいる
また、低周波数では位相差は殆ど無い。



さらにこれらの基本要素の積で表される高次要素についても、ボード線図を簡単に考えることができる。つまり

G_g = 20log(10){|P(iω)|} = Σ[1-n]{20log(10){Pi(iω)}}
G_p = ∠P(iω) = Σ[1-n]{∠Pi(iω)}

である。したがって、基本要素のボード線図を足したものがp(s)のボード線図となる。

わからないところ

微分要素と積分要素で角度が違うのが気になる。アークタンジェントについての理解が足りない。
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英語その33


§33

tend to : ~する傾向にある
associate : 連想する、関連付ける
hypocrisy : 偽善
primarily : 第一に
exploit : 搾取する
enhance : 高める

They tend to exploit us rather than enhance.
I primarily associate a fund with hipocrisy.

exert : 行使する
dominant : 支配的な
influence : 影響
conservative : 保守的な
diminish : 弱まる
investigation : 調査

He exerted dominant conservative influence.
But after investigation, it is diminished.

behind the scenes : 裏で
executive : 役員
bureaucrat : 官僚
exclusive : 高級な、排他的な
flatly : きっぱりと
confidencial : 内密の

I flat said that executives gives confidential data from bureaucrat at exclusive restaurant behind the scenes.

dare : 思い切って~する
contradict : 意見を否定する
promising : 将来有望な
carrer : 経歴
retain : 維持する
dignity : 尊厳

You dared to contradict regardless of retaining dignity and promising carrer.

reconcile oneself to : 仕方なく受け入れる
might as well A as B : BするくらいならAする
be about to : ~するところである
commit : ~を犯す
swallow : 飲み込む
think better of : ~を思いとどまる

I was about to reconcile oneself to him commited to swallow.
But I thought better of it and I maight as well refusing as admiring.

制御工学その21

6.2 周波数特性



周波数応答を表すことの出来る代表的なものにベクトル軌跡とボード線図がある。

6.2.1 ベクトル軌跡

周波数伝達関数は、複素平面上のベクトルとして考えることが出来た。
それを利用して、周波数ωを0から∞まで変化させたときの軌跡をベクトル軌跡と呼ぶ。
また、周波数ωを-∞から∞まで変化させたときの軌跡をナイキスト軌跡という。

さらに、0から-∞まで変化させたときの軌跡は、0から∞まで変化させたときの軌跡の実軸対称となる。
よって、ベクトル軌跡のみを描くことが一般的である。

6.2.2 ボード線図

ボード線図は、周波数ωに対するゲイン|P(iω)|を示すゲイン特性と
位相差∠P(iω)を示す位相特性からなる。
なお、周波数は対数表示、ゲインはデシベル

20*log(10){|P(iω)|}

で表すことが多い。

例6.7

P(s) = 1/(s+1)

のボード線図を考えてみる。

ゲイン、周波数の式はそれぞれ

G_g = 1/sqrt(1+ω^2)
G_p = -tan-1ω

ω << 1 のとき
ゲイン、位相差は

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} = 20*log(10){1} = 0
G_p = -tan-1(0) = 0

ω = 1 のとき

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} = 20*log(10){1/2} ≒ -3.01
G_p = -tan-1(1) = -45°

ω >> 1 の時

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} ≒ 20*log(10){1/ω} = -20*log(10){ω}
G_p = -tan-1∞ = 90°

すなわち、低周波数ではゲイン、位相差共に0であるが、
高周波数におけるゲインは10倍(1デカード)ごとに-20減少し、位相差は-90°となる。

問題6.4

ω1 = 20*log(10){G_g} = 20
log(10){G_g} = 1
G_g = 10

ω2 = 20*log(10){G_g} = 0
log(10){G_g} = 0
G_g = 1

ω3= 20*log(10){G_g} = -20
log(10){G_g} = -1
G_g = 1/10

ω4 = 20*log(10){G_g} = -40
log(10){G_g} = -2
G_g = 1/100


6.2.3 周波数特性の指標

周波数特性の指標には以下のものがある

・バンド幅
 ωb: |P(iω)| = |P(0)|*sqrt(2)
 となるような周波数ωbをバンド幅という。

・ピーク周波数、共振ピーク
 Mp = max(|P(ωi)|)
 となるような周波数ωpをピーク周波数、その時のMpを共振ピークという。

これらの指標と、周波数応答の関係は以下になる。

・バンド幅
 システムの出力y(t)は入力u(t)のバンド幅ωb付近までの周波数成分に追従できる。
 したがって、バンド幅が大きければ高い周波数成分に追従できる。
 これは、速応性の指標になる。

・ピーク周波数
 共振ピークMpがP|0| = 1より大きい時、ピーク周波数付近では、出力の振幅が入力の振幅より大きくなる。
 このような現象を共振という。共振ピークが大きければ、出力の振れが大きくなるため、システムの安定性の指標になる。

6.3 基本要素の周波数特性



6.3.1 一次遅れ要素

一次遅れ要素

P(s) = 1/1+Ts

に対するゲインと位相差は

G_g = 1/sqrt(1+(Tω)^2)
G_p = -tan-1(ωT)

となる。

ボード線図を考えると、前節の例と同じで、

ωT << 1 のとき
ゲイン、位相差は

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} = 20*log(10){1} = 0
G_p = -tan-1(0) = 0

ωT = 1 のとき

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} = 20*log(10){1/2} ≒ -3.01
G_p = -tan-1(1) = -45°

ωT >> 1 の時

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} ≒ 20*log(10){1/ω} = -20*log(10){ωT}
G_p = -tan-1∞ = 90°

である。


この時、ボード線図を書くと分かるが、ω=1/T(この時の1/Tは、ωbに等しい。)を境に、0と-20*log(10){ω}で近似できる。
また、位相特性も0<ω<1/5Tで0に、ω>5/Tで90に、さらにその間を直線で近似できる。

このような近似の仕方を折れ線近似という。

一次遅れ系の周波数特性

 ・低周波数 0< ω << 1/T
  ゲイン、位相差共にほぼ0である。

 ・高周波数 1/T << ω
  ゲインは-20で減少し、位相差は最大で90°遅れる。

 ・バンド幅ωb = 1/T
  ゲインは-3.01であり、位相差は45°遅れている。
  なお、時定数Tを小さくすると、バンド幅は大きくなるため速応性が良くなる。

 ・ゲイン|P(iω)|が1を超えることはないため、共振は発生しない。したがって、安定度は時定数Tに依存しない。

これらの特性は、s領域での特性と等しい。

このように、一次遅れ系は高周波数の信号を除去して、低周波数の信号のみを通すため、ノイズの除去などに用いる
一次のローパスフィルタとして用いられることが多い。
この時、周波数1/Tをカットオフ周波数と呼ぶ。

問題6.5

P(s) = 1/1+Ts
P(ωi) = x+yiとすると、

1/1+Tωi = 1-Tωi/1+ωT^2

よって

x = 1/1+ωT^2
y = -Tω/1+ωT^2

また、∠P(ωi) = -tan-1(ωT) = -tan-1(-y/x)

これを用いて

1/1-(y/x)i = x+yi

(x+yi)(1-yi/x) = 1

x+yi - yi + y^2/x = 1

x^2 + y^2 = x

x^2 - x + 1/4 + y^2 = 1/4

(x-1/2)^2 + y^2 = (1/2)^2

という円の方程式に置き換えることが出来る。
これは中心(1/2,0)、半径1/2の円である。

問題6.6

ベクトル軌跡は、半円の極点がω = 1/10のときである以外変化なし


P(s) = 1/1+10sのボード線図を考える


ωT << 1 のとき
ゲイン、位相差は

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} = 20*log(10){1} = 0
G_p = -tan-1(0) = 0

ωT = 1 のとき

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} = 20*log(10){1/2} ≒ -3.01
G_p = -tan-1(1) = -45°

ωT >> 1 の時

G_g = 20*log(10){1/sqrt(ω^2+1)} ≒ 20*log(10){1/ω} = -20*log(10){ωT}
G_p = -tan-1∞ = 90°

である、ここでT=10なので

バンド幅ωb = 1/10にを境にゲインは-20減少へ折れ線近似し、
位相差は1/50,1/10,1/2を境に折れ線近似する。

まとめ

6.2

周波数応答を表す図として、ベクトル軌跡とボード線図がある。
ボード線図は、周波数帯に対するゲインと位相それぞれの変化を表している。
また、ゲインはデシベル 20*log(10){x}で表すことが多い。

さらに、周波数応答の特性を表す指標として以下のものがある

・バンド幅
 ωb: |P(iω)| = |P(0)|*sqrt(2)
 となるような周波数ωbをバンド幅という。

・ピーク周波数、共振ピーク
 Mp = max(|P(ωi)|)
 となるような周波数ωpをピーク周波数、その時のMpを共振ピークという。

これらの指標と、周波数応答の関係は以下になる。

・バンド幅
 システムの出力y(t)は入力u(t)のバンド幅ωb付近までの周波数成分に追従できる。
 したがって、バンド幅が大きければ高い周波数成分に追従できる。
 これは、速応性の指標になる。

・ピーク周波数
 共振ピークMpがP|0| = 1より大きい時、ピーク周波数付近では、出力の振幅が入力の振幅より大きくなる。
 このような現象を共振という。共振ピークが大きければ、出力の振れが大きくなるため、システムの安定性の指標になる。


6.3

一次遅れ系に対する周波数特性を、前節で取り上げた指標、図からみる。

一次遅れ系の特徴は以下

 ・低周波数 0< ω << 1/T
  ゲイン、位相差共にほぼ0である。

 ・高周波数 1/T << ω
  ゲインは-20で減少し、位相差は最大で90°遅れる。

 ・バンド幅ωb = 1/T
  ゲインは-3.01であり、位相差は45°遅れている。
  なお、時定数Tを小さくすると、バンド幅は大きくなるため速応性が良くなる。

 ・ゲイン|P(iω)|が1を超えることはないため、共振は発生しない。したがって、安定度は時定数Tに依存しない。

これらの特性は、s領域での特性と等しい。


わからないところ

速応性と安定性の指標になるバンド幅、ピーク周波数と前にやったs領域での指標との関係が少し気になる。

英語その32


§32

spend A doing : Aを費やす
pursue : 追いかける
retirement : 退職、定年
devote : 捧げる
for the sake of : ~のために
in need : (生活に)困っている
cooperate : 協力して

We got retirement to spend all time to pursue him.
For the sake of people in need, we must cooperate devoting.
Why

charity : 慈善団体
named after : ~の名前から取る
give away : 寄付する
some : 約、だいたい
autobiography : 自叙伝

The charity named after great persons publishes his autobiography and makes some 2 billion dollars.

refer to A as B: ~を~と呼ぶ
integrity : 高潔
run for : 立候補する
mayor : 市長
disappoint : がっかりさせる
outcome : 結果

We refer to mayor as integrity, but soon we are disappointed.
It's out of question for outcome of running for.

municipal : 市町の
council : 議会
specific : 具体的な、特定の
issue : 問題、論点
it is the case that : ~ということは事実だ
pension : 年金
leave out : ~を取り除く

The specific issue is around pension.
It is the case that municipal council left out and overlooked it.

英語その31


§31

couldn't be better : 最高だ
do well : うまくいく
interview : 面接
instruction : 指示
trainee : 訓練生
cannot heads or tails of them : さっぱりわからない

I couldn't be better because I did well in interview.
It is responsible for instruction that trainee cannot heads or tails of them.

be out of question : 無理だ、認められない
one by one : 一つずつ
mind your own business : おせっかいはやめろ
persist in : しつこく~する、存続する
bother : 悩ませる

Mind your own business, He persists in whispering me to bother.

childish : 子供じみてる
fuss : 大騒ぎ
nerves : 神経過敏
there's no point to ~ : ~するのは無駄だ
talk back : 口答え
dictator : 独裁者
so to speak : いうなれば

She was making a fuss about that there's no point to being nerves.
I talked back her that it's yet childish like dictator so to speak.

polite : 礼儀正しい
in one's presence : ~の前では
actually : 実際には
despise : 軽蔑する
contrary : 正反対の
look up one : 尊敬する

He is polite and says looking up in her presence,
But actually, he is contrary and despise her.

insult : 侮辱
arouse : 呼び起こす
feed up : うんざりしている
shuffle : 書類を整理する
pour : ~を汲む
make up my mind ~ : ~と決める

I'm fed up with insult arousing nerves.
I make up my mind to get a job to shuffling and pouring coffee.

have difficulity : 苦労している
make ends meet : なんとかやりくりする
get by : なんとか生活していく
clerk : 事務員
A may well do : ~するのももっともだ
complain : 不平を言う
challenging : やりがいのある

Clerks is complaining about chellenging and so on ,but most people have difficulity making ends meet.
No,they might well complain because life getting by on routine work let their heart desolate.

fundamental : 抜本的な
surplus : 黒字
swell : 膨らむ
-fold : -倍に
loyalty : 忠誠
absurd : ばかげた
think of A as B : AをBと考える

I think of to swell surplus somefold as rather fundamental reform than absurd loyalty.

commute : 通勤する
all the way from : ~からわざわざ
suburb : 郊外
be sick of : ~にはうんざり

I commute all the way from my home on hub to suburb.

制御工学その20

6 伝達関数の周波数特性



今まで、システムの特性を調べるのにステップ入力を用いてきた。
本章では、入力として様々な正弦波を与える事でシステムの特性を調べることを考える。
この時のシステムの振る舞いを周波数特性という

6.1 周波数応答と周波数伝達関数



システムP(s) = Y(s)U(s)の入力u(t)に正弦波を与えたときの出力y(t)を周波数応答という。

例6.1

y(s) = P(s)u(s)
P(s) = 1/(s+1)

に対し、u(t) = A*sinωt (A>0,ω>0)
を加えたときのy(t)を考える。

u(t) = A*sinωtをラプラス変換すると

u(s) = Aω/(s^2+ω^2)

となるので、
出力は

y(s) = 1/(s+1) * Aω/(s^2+ω^2)

部分分数分解すると

y(s) = k1/(s+1) * k2/(s+ωi) * k3/(s-ωi)

k1 = Aω/(1+ω^2)
k2 = A(i-ω)/2(1+ω^2)
k3 = A(i+ω)/2(1+ω^2)

となる。これを逆ラプラス変換すると

y(t) = k1*e^-t + k2*e^-ωit + k3*e^ωit

オイラー方程式を用いて整理すると

y(t) = k1*e^-t + k2*(cosωt-i*sinωt) + k3(cosωt+i*sinωt)

k2,k3を展開すると

y(t) = k1*e^-t + A/(1+ω^2)*(sinωt - ω*cosωt)

となる。tが十分経過すれば第一項は0になるので、
結局出力は

y(t) ≒ A/sqrt(1+ω^2)*sin(ωt + tan-1(-ω))

となり、これは入力A*sinωtと同じ周波数の正弦波である。

ここで、システムの特性を決めているのは、振幅の係数B(ω) = A/sqrt(1+ω^2)と位相差G_p(ω) = -tan-1(ω)

である。特に、振幅係数と入力振幅の比

G_g(ω) = B(ω)/A = ゲイン

と位相差

G_p(ω)

の2つでシステムの特性を表現することが出来る。

一般に、安定なシステムに正弦波を入力すると

A*G_g(ω)*sin(ωt+G_p(ω))

の出力を得る。このように、システムに様々な正弦波を加えて、システムの特性を知る方法を周波数応答法という。

問題6.2

不安定なシステムP(s) = 1/s-1
にsintを放り込む。

y(s) = 1/(s-1)*1/(s^2+)
部分分数分解すると

y(s) = k1/(s-1) + k2/(s+i) + k3/(s-1)

この時点で逆ラプラス変換すると第一項がe^tとなるため、tが十分経過したときに、発散してしまう。

6.1.2

周波数伝達関数と、ゲイン、位相差の関係

ゲイン、位相差を求めるために毎回逆ラプラス変換するのは面倒である。
なので、周波数伝達関数からゲインと位相差を直接求めることを考える。

伝達関数P(s)におけるsをωiに置き換えたP(ωi)を周波数伝達関数といいう。
この実部と虚部をそれぞれRe[P(ωi)]、Im[P(ωi)]とすると、ゲインと位相差はそれぞれ

ゲイン = G_g(ωi) |P(ωi)| = sqrt(Re[P(ωi)]^2 + Im[P(ωi)]^2)

位相差 = G_p(ωi) = ∠P(ωi) = tan-1(Im[P(ωi)]/Re[P(ωi)])

で表すことが出来る。これはつまり、P(ωi)を複素平面上のベクトルとしたときの大きさと、実軸との角度に等しい。


例6.2
skip

例6.3

P(s) = 1/(s+1)(s+2)の周波数伝達関数は

P(ωi) = 1/(ωi+1)(ωi+2) = (2-ω^2-3ωi)/(ω^4+5ω^2+4)

であり、

{P(ωi)| = sqrt((2-ω^2)^2+9ω^2)/(ω^4+5ω^2+4) = sqrt(ω^4 + 5ω^2 + 4)/(ω^2+5ω+4) = 1/sqrt(ω^4 + 5ω^2 + 4)

∠P(ωi) = tan-1(3ω/(ω^2-2))

である。

6.1.3

ゲイン、位相差の便利な求め方

前節のように、周波数伝達関数P(ωi)の実部と虚部を求めればゲインと位相差は計算出来るが、その計算が面倒なことも多い。
そこで、便利な求め方を考える。

オイラーの方程式を用いると

P(ωi) = |P(ωi)|*e^i∠P(ωi)

と書くことが出来る。ここで、

P(ωi) = N1(ωi)*N2(ωi)*...*Nm(ωi)/D1(ωi)*D2(ωi)*...*Dn(ωi)

の形をしているならば、

P(ωi) = |N1(ωi)|*e^i∠N1(ωi)*.../|D1(ωi)|*e^i∠D1(ωi)

と、それぞれのN,Dのゲイン、位相差から求めることが出来る。つまり

P(ωi) = |N1(ωi)|*|N2(ωi)|*...*|Nm(ωi)|/|D1(ωi)|*|D2(ωi)|*...*|Dn(ωi)| * e^i(Σ[i=1:m]∠Ni(ωi) - Σ[i=1:n]∠Di(ωi))

となるのである。

例6.4
skip

例6.5
skip

問題6.2
それぞれのP(s)に対し、ゲインと位相差を求める。

問題 6.2

(1) P(s) = 1/(s+5)

P(iω) = 1/(iω+5)
  = (5-ωi)/(25+ω^2)

D1(iω) = (iω+5)
|D1(iω)| = sqrt(25+ω^2)

G_g(ωi) = |P(iω)| = 1/|D1(iω)| = 1/sqrt(25+ω^2)

G_p(ωi) = ∠P(iω) = -∠D1(iω) = -tan-1(ω/5)


(2) P(s) = 1/(s-5)

P(iω) = 1/(iω-5)
  = (5+ωi)/(25+ω^2)

D1(iω) = (iω-5)
|D1(iω)| = sqrt(25+ω^2)

G_g(ωi) = |P(iω)| = 1/|D1(iω)| = 1/sqrt(25+ω^2)

G_p(ωi) = ∠P(iω) = -∠D1(iω) = tan-1(ω/5)

(3) P(s) = 2/(s^2+2s+2)

(s^2+2s+2) = 0
s = -2±sqrt(4-8)/2 = -1±i

P(s) = 2/(s+1+i)(s+1-i)

P(iω) = 2/(iω+1+i)(iω+1-i)

    = 2/(1+(ω+1)i)(1+(ω-1)i)

    = 2(1-(ω+1)i)(1-(ω-1)i)/(1+(ω+1)^2)(1+(ω-1)^2)

    = 2(1-ωi-i)(1-ωi+i)/(1+(ω+1)^2)(1+(ω-1)^2)

    = 2(1-2ωi-ω^2+1) / (1+(ω+1)^2)(1+(ω-1)^2)

    = (2ω^2+4)-4ωi / (1+(ω+1)^2)(1+(ω-1)^2)

N1 = 2
D1 = (iω+1+i)
|D1| = sqrt(1+(ω+1)^2) = sqrt(ω^2 + 2ω + 2)

D2 = (iω+1-i)
|D2| = sqrt(1+(ω-1)^2) = sqrt(ω^2 - 2ω + 2)

G_g(ω) = |P(iω)| = 2/sqrt((ω^2 + 2ω + 2)(ω^2 - 2ω + 2))

    = 2/sqrt((ω^2+2)^2 - 4ω^2) = 2/sqrt(ω^4+4ω^2+4 - 4ω^2) = 2/sqrt(ω^4+4)

∠P(iω) = -(∠D1+∠D2)

∠D1(iω) = tan-1(ω+1)
∠D2(iω) = tan-1(ω-1)

tan(∠D1+∠D2) = ω+1+ω-1/(1-(ω+1)(ω-1)) = 2ω/-ω^2+2

G_p(ω) = ∠P(iω) = -(∠D1+∠D2) = -tan-1(2ω/(-ω^2+2))


(4) P(s) = s(s-1)/(2(s+3)(s+4)(s+5))

N1 = ωi
N2 = ωi-1

D1 =2
D2 = ωi+3
D3 = ωi+4
D4 = ωi+5

|N1| = ω
∠N1 = π|
|N2| = sqrt(1+ω^2)
∠N2 = tan-1ω

|D1| = 2
∠D1 = 0
|D2| = sqrt(9+ω^2)
∠D2 = tan-1(ω/3)
|D3| = sqrt(16+ω^2)
∠D3 = tan-1(ω/4)
|D4| = sqrt(25+ω^2)
∠D4 = tan-1(ω/5)

G_g(ω) = |P(ωi)| = ω*sqrt(1+ω^2) / 2*sqrt(9+ω^2)*sqrt(16+ω^2)*sqrt(25+ω^2) = ω/2 * sqrt((1+ω^2)/((9+ω^2)(16+ω^2)(25+ω^2))

G_p(ω) = (π+tan-1(ω)) - (tan-1(ω/3) + tan-1(ω/4) + tan-1(ω/5)


(5) P(s) =1/(s+1)^10

|N1| = 1
∠N1 = 0

|D1| = sqrt(1+ω^2)
∠D1 = tan-1(ω)

G_p(ω) = |P1(ωi)| = 1/|D1|^10 = 1/(1+ω^2)^5

G_g(ω) = -10*∠D1 = -10*tan-1(ω)

問題6.3

P(s) = s+2/s^2+2s+2

にsintを放り込んだ時のy(t)を求める。

P(s)のゲイン、位相差をまず求める。

P(ωi) = (ωi+2)/(ωi+1+i)(ωi+1-i)

N1 = ωi+2

D1 = 1+(ω+1)i
D2 = 1+(ω-1)i

|N1| = sqrt(4+ω^2)
|D1| = sqrt(1+(ω+1)^2) = sqrt(ω^2 + 2ω + 2)
|D2| = sqrt(1+(ω-1)^2) = sqrt(ω^2 - 2ω + 2)

G_g(ω) = |P(a)| = sqrt((4+ω^2)/(ω^4+4))

∠N1 = tan-1(ω/2)
∠D1 = tan-1(ω+1)/1)
∠D2 = tan-1(ω-1)/1

G_p(ω) = tan-1(ω/2) - tan-1(2ω/(-ω^2+2))) = tan-1(tan(tan-1(ω/2) - tan-1(2ω/(-ω^2+2)))))

= tan-1( ω/2-(2ω/(-ω^2+2)/(1-ω/2*(2ω/(-ω^2+2)) = tan-1(-ω(ω^2+2)/4)


詳細:(2-ω^2)*ω/2 - 2ω / 2-ω^2 - ω^2 = (2ω - ω^3-4ω)/2 / (4-2ω^2-ω)/2 = -ω(ω^2+2)/4

つまり出力y(t)は

y(t) = A*sqrt((4+ω^2)/(ω^4+4))*sin(ωt+tan-1(-ω(ω^2+2)/4(1-ω^2)))

入力がsintなのでA=1,ω=1とすると

y(t) = 1*1*sin(t+θ) = sin(t+θ)
θ = tan-1(-4/3)

まとめ

システムに正弦波を放り込むことでいろんな特性がわかるらしい。
安定システムに正弦波を放り込むと出力もたいてい正弦波になる。
その時、式は

u(t) = Asinωtで
y(t) = A*G_g(ω)*sin(ωt+G_p(ω))

となる。この時の
G_g(ω)が振幅比ゲイン
G_p(ω)が位相差となる。

このG_gとG_pはP(s)の入力をωiとしたときの周波数伝達関数を複素平面上のベクトルとしたときの大きさと角度で表される。
つまり、

ゲイン = G_g(ωi) |P(ωi)| = sqrt(Re[P(ωi)]^2 + Im[P(ωi)]^2)

位相差 = G_p(ωi) = ∠P(ωi) = tan-1(Im[P(ωi)]/Re[P(ωi)])

である。また、伝達関数が分子分母それぞれが小さな伝達関数の掛け算で表されているならば、簡単に求めることができる。

P(ωi) = |N1(ωi)|*|N2(ωi)|*...*|Nm(ωi)|/|D1(ωi)|*|D2(ωi)|*...*|Dn(ωi)| * e^i(Σ[i=1:m]∠Ni(ωi) - Σ[i=1:n]∠Di(ωi))

である。

わからないところ

なし

英語その30


§30

by no means : 決して~しない
reward : 報酬
owe A B : AはBの借りがある
altogether : 全部で
be hard up : お金にこまっている
there you go again : またなのか?

I owes him one hundred backs altogether.
But he by no means is going to pay back even if he gets reward.
I'm hard up. There he goes again?

debt : 借金
considerable : かなりの
amount to : ~に達する
cling to : ~にしがみつく
leave ~ behind : ~を置き去りにする

Your debt amounted to considerable sum so you'll not stop cling to me or be left behind in the ship.

harsh : 厳しい
adapt to : ~に適応する
last : 続く
one of these days : いつかは
proper : ふさわしい、適切な
qualification : 能力、資格

If you don't have proper qualification for the position, It's tough to adapt to that.
This harsh life does'nt last.The end will come one of these days.

enclose : 同封する
resume : 履歴書、レジュメ
envelope : 封筒
personnel : 人事、社員
department : 部
optimistic : 楽観的
work out : うまくいく
at best : よくても

It's your optimistic that submited envelope enclosed your resume reach to personnel department.
At best It work out that to an entrance.

registration : 登録
obstain : 入手
participate : 参加する
inquirly : 問い合わせ
toll-free : 無料電話

Registration form to participate can be obstained by inquirly toll-free.

英語その29

忙しい、ペースが落ちてる


§29

ripe : 熟した
bold : 大胆な、太い
go for : ~のために頑張る
yield : 屈する、譲る
threat : 脅迫

I'll go for becoming bold so don't yield to threat.

if only : ~でありさえすればいいのに
it's up to you : あなた次第
make the most of : ~を最大限活用する
demonstrate : 実証する
let ~ down : ~をがっかりさせる

If only I can demonstrate my usefuless.
I don't want to let you down.

spectators : 観客
move : 感動させる
architecture : 建築学
prestigious : 権威のある
in the face of ~ : ~を物ともせず
adversity : 逆境
extraordinary : 人並み外れた
feat : 偉業
deserve : ~を受けるに価する
praise : 賞賛

He moved spectators with his presantation of prestigious field of arhitecture.
It's extraordinary feat and He deserves praise because he did in the face of adversity.

impress : ~に感銘を与える、印象を与える
eloquent : 説得力のある
humble : 庶民の
fame : 名声
tremendous : 驚くほど大きな
fortune : 財産
postwar : 戦後
era : 時代

to make tremendous fortune from humble background, Moving from postwar era.
His talk impressed audience that its fame is eloquent.

used to : 昔よく~した
well off : 裕福な
generous : 気前のいい
live from hand to mouth : その日暮らしをする

I used to live from hand to mouth, so after I became well off, I can't behave generously.

英語その28


§28

regard A as B : AをBと考える
compulsory : 強制的な
obsolete : 時代遅れ
fulfill : ~を果たす、実現させる、満たす
ambition : 夢、大きな目標

He regards compulsory persverance to fulfill ambitions as obsolete.

make his way to : ~へすこしずつ進む、目指す
tuition : 授業料
as of ~ : ~から
be of two minds : どちらにしようか迷っている
apply for : 申込む
scholarship : 奨学金

He is of two minds to apply for scolarship to pay tuition to make his way to his dream as of nowadays or not.

take over : 引き継ぐ
be cut out for : ~に向いている
rigid : 厳格な
discipline : 規律
make a living : 生計を立てる
playwright : 脚本家
at all costs : どんな犠牲をはらっても

You are cut out for making a living as a playwright.
I'll take over its rigid discipline at all costs.

grow up : 大人になる
put ~ in perspective : 総合的な視野で捉える
conformity : 体制に従うこと
homogeneous : 均質な、同質でで構成された
toil away : あくせく働く
mold : 型
get nowhere : 何の成果もない

Growing up is getting much perspective and learn to be conformity.
If you toil away in homogeneous company, It gets nowhere for your mold.

take after : 似ている
in personally : 人格、性格
obstinate : 頑固
give in : 降参する

He takes after him in personally, in particular obstinate, so he'll nener give in.

制御工学その19.5

Scilabがよくわからんので自力でシミュレート実装すること考えた。
微分器積分器ゲインとかは楽だけど、伝達関数(というか微分方程式)の実装が俺にはよくわかんなくて挫折。
というかそもそも離散時間のシステムのことぜんぜんわかってないということがわかったので次のターゲットとして考えておこう。

制御工学その19

5.4 MATLAB/Simulinkを利用した演習 -垂直駆動アームのPI-D制御



いつもどおりMATLABはないのでScilabが頑張る。

前節で示した垂直駆動アームのPI-D制御を実際にシミュレートしてみる。

各パラメータは

//armpara
//垂直駆動アームの物理パラメータ

l = 0.204;
M = 0.390;
J = 0.0712;
c = 0.695;
g = 9.81;


として、目標値応答に注目したPI-Dと入力外乱応答に注目したPI-Dをそれぞれパラメータ設計する。

目標値応答に注目すると


//armPID
//PI-D Controller for r(t)-y(t)

a0 = M*l*g/J;
a1 = c/J;
b0 = 1/J;

omegaM = 10;
zetaM = 0.7;

kI = omegaM*a0/(2*zetaM*b0) //積分ゲイン
kP = omegaM^2/b0 //比例ゲイン
kD = 2*zetaM*omegaM/b0 + a0/(2*zetaM*omegaM*b0) + a1/b0 //微分ゲイン


んで作ってみたPI-Dシミュレータがこちら



目標値π/6で、1.5秒目から外乱0.5が加わるとしてシミュレートした結果のグラフが



次に、入力外乱応答に特化してシミュレートする。

パラメータ設定


//armPID2
//PI-D Controller for d(t)-y(t)

a0 = M*l*g/J
a1 = c/J
b0 = 1/J

omegaM = 10;
alpha1 = 2;
alpha2 = 2;

kI = omegaM^3/b0 //積分ゲイン
kP = (alpha1*omegaM^2 - a0)/b0 //比例ゲイン
kD = (alpha2*omegaM - a1)/b0 //微分ゲイン

実際にscilabで目標値応答の時と同じブロック図を使ってシミュレートしてたがちっともうまくいかない。先取りして問題もやってみたがやはりうまくいかない。何故だ。

というわけで、大学の演習室にあるMATLABを使ってやり直してみた。

パラメータ・図はscilabと同じ構成、MATLABで作るとこうなる。



(この図はscilabと同条件にするために、パラメータを直接打ち込んでいる)

シミュレートしてみるとうまくいく。さすが有料


さらに、目標値応答のグラフと重ねあわせてみる。
点線が入力外乱に特化した場合、実線が目標値応答に特化した場合。




教科書にあるようなきれいな重なりになった。さすがMATLAB



問題5.5

問題5.4で設計した台車の位置制御をするシミュレーションを行う。

各パラメータは

P(s) = 1/Ms^2+cs
M = 0.44
c = 8.32

kI = ωM^3*M
kp = α1*ωM^2*M
kD = (α2*ωM^2 - c/M) * M = α2*ωM*M - c

これは問題5.4で求めた。

I-PDのブロック図をつくってみる。



入力(目標値)を単位ステップ(r(s)=1)
外乱なしでシミュレートすると



となる。すごいできてるように見えるけど答えないのでわからない。目標値に収束してるしいいか。

おまけ

垂直駆動アームを線形近似したけどシミュレートなら非線形のまま扱える。
線形近似した伝達関数の部分を非線形のまま扱ったブロック図がこちら



小ウインドウ部分が非線形な伝達関数部分。非線形微分方程式を積分繰り返してなんとか解いてる。

実際にシミュレートして、線形近似の場合と比べてみたグラフ



点線が線形近似したモデルでのシミュレーション、実線が非線形のまま実装したモデルでのシミュレーション。
非線形のままのシミュレーションのほうがオーバーシュート、整定時間共に大きくなっている。


まとめ

さすがのMATLAB、どうしたScilab

わからないところ

Scilabでこれくらいのシミュレートが出来ないはずないので、なにかしら仕様を勘違いしてるはず。
現在調査中。

英語その26と27

今回は連接投稿

§26

motel : モーテル、車用宿泊施設
accommodate : ~分の十分なスペースがある
suite : 一揃い、スイートルーム
condomonium : マンション
litter : ゴミを投げ捨てる
facility : 施設
be subject of : ~を受ける可能性がある
fine : 罰金

The suite of this motel accomodate to litter.
But if you do, you're subject of fine facility configured.

pack : 混んでいる
beforehand : 事前に
I'd like a word with : 相談したいことがある
get back to : 連絡しなおす
astonish : 大変驚く
appetite : 食欲

If you'd like a word with me , please make a reservation beforehand, so I'll get back soon.
A servant of packing restaurant was astonished by his appetite

I have no idea : よくわからない
hang around : ~群がる
catch a glimpse of : ~を一目見ようと
celebrity : 有名人
autograph : サイン

They hanged around entrance to catch a glimpse of celebrity and ask for autograph.
I have no idea to its motivation.

§27

abroad : 海外へ
jet lag : 時差ぼけ
diarrhea : 下痢
sort of : 何か、何か~するみたいな感じ
dizzy : 眩暈
throw up : 吐き気がする

I was in jet lag and diarrhea so I feel sort of dizzy and throwing up.
I never go abroad.

aspirin : 鎮痛剤
come down with ~ : ~で体調をくずす
ingredient : 原料
harmful : 有害
pregnant : 妊娠している

She came down with something by ingredients of aspirin which is harmful for pregnant woman.

nutrition : 栄養摂取
vital : 極めて重要
infant : 乳児、幼児
moderate : 適度な
exercise : 運動
stimulate : 刺激する

I know the nutrition is vital for infant after moderate exercision for stimulation to circulation.

physician : 医師
refrain from : 控える
for the time being : 当分
do ~ : 本当に
get into shape : 体調を良くする
nasty : ひどい
stay up late : 夜更かしする

Physician told me that I do refrain from staying up late for the time being to get into shape.

surgeon : 外科医
undergo : 受ける
organ : 内蔵
transplant : 移植
bedridden : 寝たきり
take turns : 交代で
look after : 世話をする

Surgeon suggests him who is bedridden and looked after by taking turn to undergo an organ transplant.

excessive : 過度の
contribute : 寄付する、~の一因となる
mortality : 死ぬゆく運命
appropirate : 適切な
take measure : 手段をとる
prevent : 防ぐ
infection : 伝染病などの伝染

Taking excessive appropriate measure is make situation morality.
It prevent infection from contribution of becoming motality nation.

minister : 大臣
oblige : 人に余儀なく~させる
resign : 辞職する

The minister obliged to the king resign.

制御工学その18

5.3 垂直駆動アームのPID制御



例2.4の垂直駆動アームを対象とし、PID制御により角度制御を実際に行ってみる。
今回の対象は

伝達関数

P(s) = b0/(s^2+a1s+a0)

で表すことが出来、かつ

a0 = Mlg/J
a1 = c/J
b0 = 1/J

である。

5.3.1 P制御

Pコントローラ式

C(s) = kp

を用いると、目標値、入力外乱から制御量への伝達関数はそれぞれ

G_yr = P(s)C(s)/1+P(s)C(s) = b0/(s^2+a1s+a0)*kp / 1 + b0/(s^2+a1s+a0)*kp = b0kp / s^2+a1s+a0+b0kp

G_yd = P(s)/1+P(s)C(s) = b0 / s^2+a1s+a0+b0kp

これは2次遅れ系なので、2次遅れ標準形に治すと

ωn = sqrt(a0+b0*kp)
ζ = a1/2sqrt(a0+b0*kp)
K1 = b0*kp/(a0+b0*kp)
K2 = b0/(a0+b0*kp)

つまり

G_yr = K1*ωn^2 / (s^2+2ζωn+ωn^2) = b0*kp/(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp)^2 / (s^2 + 2*a1/2sqrt(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp) + sqrt(a0+b0*kp)^2) = b0kp / s^2+a1s+a0+b0kp

G_yd = K2*ωn^2 / (s^2+2ζωn+ωn^2) = b0/(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp)^2 / (s^2 + 2*a1/2sqrt(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp) + sqrt(a0+b0*kp)^2) = b0 / s^2+a1s+a0+b0kp0

となる。ここで、kpに注目すれば、2次遅れ要素の固有角周波数ωnと減衰係数ζに同時に現れているため、どちらもkpにより操作することができるが、
逆にどちらか一つしか指定することができない。
つまり、速応性か減衰性のどちらか一つしか指定できない。

また、定常位置偏差

e_∞ = 1/(1+lim[s→0]{P(s)C(s)}) = 1/(1+b0kp/a0) = a0/a0+b0kp

が必ず発生し、
ステップ状の入力外乱に対する入力外乱応答

G_yd(0) = K2 = b0/(a0+b0*kp)

がkpがいかなる値となっても0にはならない。
しかし、定常位置偏差、入力外乱応答はkpが大きくなればなるほど0に近づいてはいく。

シミュレートしてみると、kpを大きく、つまりωnを大きくすればするほど
入力外乱応答、定常位置偏差は0に近づいていくが、振動的な応答になる。

問題5.1

ζを指定するときは

ζM = a1/2sqrt(a0+b0*kp)

より

kp = a1^2/4b0ζM^2 - a0/b0

とすればいい。


5.2.2 P-D制御

P制御では速応性か減衰性のいずれか一方しか指定できなかったので、今回はP-D制御で解決させたい。

P(I)-Dコントローラの式

u(s) = kp*e(s) + kI/s*e(s) - kDs*y(s)

を変形して

u(s) = (Kp+kI/s)*(r(s)-y(s)) - kDs*y(s) = (kp+kI/s)*r(s) - (kp+kI/s+kDs)*y(s)

  = (kp+kI/s+kDs)*(((kp+KI/s)/(kp+kI/s+kDs))*r(s) - y(s))

となるので、ここで

C1(s) = kp+kI/s+kDs
C2(s) = (kps+KI)/(kDs^2+kps+kI)

とすると,目標値、入力外乱から制御量への伝達関数は

G_yr = P(s)C1(s)C2(s)/(1+P(s)C1(s))
G_yd = P(s)/(1+P(s)C1(s))

となる。今回はP-DなのでkI=0として計算すると

G_yr = b0/(s^2+a1s+a0)*(kp+kDs)*(kps)/(kDs^2+kps) / 1+b0/(s^2+a1s+a0)*(kp+kDs)

= b0/(s^2+a1s+a0)*(kp) / (s^2+a1s+a0+b0(kp+kDs))/(s^2+a1s+a0)

= kpb0/(s^2+(a1+kDb0)s+a0+kpb0)

G_yd = b0/(s^2+(a1+kDb0)s+a0+kpb0)

となるので、これを二次遅れ標準形に直すと

ωn = sqrt(a0+b0*kp)
ζ = (a1+b0*kD)/2sqrt(a0+b0*kp)
K1 = b0*kp/(a0+b0*kp)
K2 = b0/(a0+b0*kp)

つまり

G_yr = K1*ωn^2 / (s^2+2ζωn+ωn^2) = b0*kp/(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp)^2 / (s^2 + 2*(a1+b0*kp)/2sqrt(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp) + sqrt(a0+b0*kp)^2) = b0kp / s^2+(a1+kDb0)s+a0+b0kp

G_yd = K2*ωn^2 / (s^2+2ζωn+ωn^2) = b0/(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp)^2 / (s^2 + 2*(a1+b0*kp)/2sqrt(a0+b0*kp)*sqrt(a0+b0*kp) + sqrt(a0+b0*kp)^2) = b0 / s^2+(a1+kDb0)s+a0+b0kp0

となるので、

kp = (ωM^2-a0)/b0
kD = (2*ζM*ωM-a1)/b0

と選べば、任意の固有角周波数、減衰係数を設定することが出来る。
つまり、過渡特性の改善が行われる。
しかし、K1、K2は同じなので、定常特性の改善はできない。

問題5.2

本文中にやってるやんけ



5.3.3 PI-D制御

P制御やP-D制御では、コントローラに積分器を含んでいないため、定常位置偏差や入力外乱定常値が0にならないという問題があった。
今回はPI-D制御で解決させたい。また、その時の部分モデルマッチング法により、パラメータを決定する。

PI-Dのコントローラは前節で示したとおり、

u(s) = (kp+kI/s+kDs)*(((kp+KI/s)/(kp+kI/s+kDs))*r(s) - y(s))

であり、

C1(s) = kp+kI/s+kDs
C2(s) = (kps+KI)/(kDs^2+kps+kI)

とすると,目標値、入力外乱から制御量への伝達関数は

G_yr = P(s)C1(s)C2(s)/(1+P(s)C1(s))
G_yd = P(s)/(1+P(s)C1(s))

である。今回はkI=0ではないのでそのまま計算すると

G_yr = b0/(s^2+a1s+a0)*(kp+kI/s+kDs)*(kps+KI)/(kDs^2+kps+kI) / 1+b0/(s^2+a1s+a0)*(kp+kI/s+kDs)

= b0/(s^2+a1s+a0)*(kps+kI)/s / (s^2+a1s+a0)+b0((kp+kI/s+kDs))/(s^2+a1s+a0)

= b0(kps+kI)/s / s^2+a1s+a0+b0kp+b0kI/s+b0kDs = = b0(kps+kI)/s / (s^3+a1s^2+a0s+b0kps+b0kI+b0kDs^2)/s

=b0(kps+kI)/(s^3+(a1+b0kD)s^2+(a0+b0kp)s+b0kI)

G_yd = b0s/(s^3+(a1+b0kD)s^2+(a0+b0kp)s+b0kI)

である。ここから、パラメータを何とかして決定する。

(a)目標値応答に注目した部分的モデルマッチング法

目標値応答に注目するので、G_yrを規範モデルGMと近似的に一致させる方法である。

そのままでは難しいので、伝達関数の逆数

1/G_yr をs=0でテイラー級数展開したもの

1+a0/b0kI*s+((a1+b0kD)/b0kI - a0kP/b0kI^2)*s^2 + (1/b0kI - kp(a1+b0kD)/b0kI^2 + a0kp^2/b0kI^3)*s^3 ...

計算略!(一次導関数くらいでめんどくさくなった

と、規範モデルGMの逆数1/GMを近似的に一致させればいいので

例えば規範モデルを2次遅れ系

GM(s) = ωM^2/s^2+2ζM*ωM*s+ωM^2

とすると、1/GMと1/G_yrのテイラー展開のsに関する係数が一致すればいいので


a0/b0kI = 2ζM/ωM

(a1+b0kD)/b0kI - a0kP/b0kI^2 = 1

1/b0kI - kp(a1+b0kD)/b0kI^2 + a0kp^2/b0kI^3 = 0


となるように、kI、kD、kpを定めればよい。

kI = ωM*a0/2*ζM*b0

kp = ωM^2/b0

kD = 2*ζM*ωM/b0 + a0/2*ζM*ωM*b0 + a1/b0

と選べばよい。

(b)入力外乱応答に注目した部分的モデルマッチング法

同様に、入力外乱応答に注目した部分的モデルマッチング法は、
G_yd(s)を規範モデルs*GM/kIと近似させる方法である。?

前回同様、

1/GMとs/kIG_yd(s)を一致させたいので、

s/kIG_yd(s)をテイラー級数展開し、(今回はテイラー展開しなくてもなんとかなる)

s/kIG_yd(s) = (s^3+(a1+b0kD)s^2+(a0+b0kp)s+b0kI)/b0kI



突然現れた3次の規範モデル

GM(s) = ωM^3/(s3+α2ωMs^2+α1ωM^2*s+ωM^3)

の逆数と係数が一致すればいいので

kI = ωM^3/b0

kp = (α1ωM^2-a0)/b0

kD = (α2ωM-a1)/b0

とすればよい。

この値で実際にシミュレートしてみると、目標値応答に注目した場合、目標値応答は適度な速応性と減衰性を兼ね備えており、
定常位置偏差も0であるが、入力外乱の影響を完全に抑制するまで時間がかかる。
また、入力外乱応答に注目した場合、入力外乱の影響は速やかに抑制できるが、目標値応答におけるオーバーシュートが大きい。

問題5.3

G_yr式にパラメータをぶち込んでみる。

G_yr = b0(kps+kI)/(s^3+(a1+b0kD)s^2+(a0+b0kp)s+b0kI)

kI = ωM*a0/2*ζM*b0

kp = ωM^2/b0

kD = 2*ζM*ωM/b0 + a0/2*ζM*ωM*b0 + a1/b0

とすると

G_yr = (b0*(ωM^2/b0)*s + b0*ωM*a0/2*ζM*b0) / s^3 + a1*s^2+b0*(2*ζM*ωM/b0 + a0/2*ζM*ωM*b0 + a1/b0)*s^2 + a0s + b0*ωM^2/b0*s + b0*ωM*a0/2*ζM*b0

=ωM^2*s + ωM*a0/2*ζM / s^3 + (a1 + 2*ζM*ωM + a0/2*ζM*ωM + a1)*s^2 + (a0 + ωM^2)*s + ωM*a0/2*ζM

=スキップ


5.3.4 I-PD制御

PI-D制御で、入力外乱に注目すれば、入力外乱の影響は速やかに抑制できたが、オーバーシュートが大きいという問題があった。

そこで、今回は入力外乱の影響を素早く抑制でき、しかも目標値応答を改善するI-PD制御を設計する。

I-PDコントローラの式を用いると
3回目なので略して

G_yr = b0kI/(s^3 + (a1+b0kD)*s^2 + (a0+b0kp)*s + b0kI)
G_yd = b0s/(s^3 + (a1+b0kD)*s^2 + (a0+b0kp)*s + b0kI)

となる。このとき、G_yrはPI-D制御で入力外乱応答に注目した時のGMの式

GM = [PI-D]G_yd*kI/s

と等しいため、G_yrを3次の規範モデルと等しくさせるためのパラメータは
PI-Dで入力外乱応答に注目した時のパラメータに等しい。

実際に同じパラメータでシミュレートしてみると、I-PDは優れた入力外乱抑制特性を保持しつつ、目標値応答を改善している。

問題5.4

対象となる台車系の制御対象は

P(s) = 1/(Ms^2+cs)

I-PDコントローラは

C1(s) = kp+kI/s+kDs
C2(s) = kI/(kDs^2+kps+kI)

よって、

G_yr = P(s)C1(s)C2(s)/(1+P(s)C1(s)) = 1/(Ms^2+cs)*(kp+kI/s+kDs)*(kI/(kDs^2+kps+kI)) / 1 + 1/(Ms^2+cs)*kp+kI/s+kDs

= 1/(Ms^2+cs)*kI/s / (Ms^2+cs+kp+kI/s+kDs)/(Ms^2+cs)

= kI/s / Ms^2+cs+kp+kI/s+kDs = kI/s / Ms^3+cs^2+kps+kI+kDs^2 /s

= kI/Ms^3+(c+kD)*s^2+kps+kI


*別方向からのアプローチ
P(s)を二次遅れ標準形に直すと

P(s) = (1/M) / s^2 + c/Ms)

a1 = c/M
a0 = 0
b0 = 1/M

前節で求めた標準式は

G_yr = b0kI/(s^3 + (a1+b0kD)*s^2 + (b0kp)*s + b0kI)

分母をb0でくくりだすと

G_yr = b0kI/b0(s^3/b0 + (a1+kD)*s^2 + (kp)*s + kI)

   = kI/s^3/(s^3/b0 + (a1+kD)*s^2 + (kp)*s + kI)

となる。

問題に戻って、3次の規範モデルは

GM(s) = ωM^3/(s3+α2ωMs^2+α1ωM^2*s+ωM^3)

G_yrを最も簡単な形の状態で、それぞれの逆数を考える。

1/G_yr = (s^3 + (a1+b0kD)*s^2 + (b0kp)*s + b0kI)/b0kI

1/GM = (s3+α2ωMs^2+α1ωM^2*s+ωM^3)/ωM^3

係数比較すると

1/ωM^3 = 1/b0kI

α2/ωM^2 = (a1+b0kD)/b0kI

α1/ωM = kp/kI

より

kI = ωM^3/b0
kp = α1/ωM * ωM^3/b0 = α1ωM^2/b0
kD = (b0kI*α2/ωM^2 - a1)/b0 = (ωM^3*α2/ωM^2 - a0) / b0 = (α2ωM - a0)/b0


つまり

kI = ωM^3*M
kp = α1*ωM^2*M
kD = (α2*ωM^2 - c/M) * M = α2*ωM*M - c

となる。

まとめ

垂直駆動アームを対象に実際に様々な制御タイプを考えた。
P制御、P-D制御、PI-D制御、I-PD制御と進んでいくにつれ

パラメータの決定はめんどくさくなるが、
I-PD制御では、入力外乱応答の抑制を速やかに行ないながら、目標値応答におけるオーバーシュートが小さい、すなわち減衰性を抑えることが出来た。


わからないところ

PI-D制御のパラメータ決定に関して、入力外乱応答に注目した際に、どうして通常の伝達関数G_ydにkI/sとかいう係数がつくのだろうか。
確かにあとの方から見るとすごく綺麗にまとまるんだけど、どこから出てきたんだろうか。積分動作だけ外れているとかそういうことなのか?

問題5.3はとちゅうで計算力が尽きた。頑張ればなんとかなる気がするけどとてもめんどくさい。

英語その25

§25

questionnaire : アンケート用紙
All you have to do is : ~するだけでいい
fill ~ in : ~に必要事項を記入する
pick out : ~を選びだす
optional : 自由に選べる
excursion : 日帰り旅行

All you have to do is fill that questionnaire in and you'll pick out optional excursion.

round-trip : 往復の
fare : 料金
destination : 目的地
as follows : 下記の通り
confirm : 確認する
in advance : 事前に

It's just confirmed in advance, round-trip fare is same to as follows for any destinations.

be sure to do : 必ず~しなさい
at least : 少なくとも
prior to : ~より前に
come off : 取れる
weigh : 重みがある

Be sure to confirm what does it weigh before it comes off.

be free of : ~とは無縁である
hazardous : 有害な
flashlight : 懐中電灯
dim : 薄暗い

This hazardous flashlight is free of getting dim.

制御工学その17

5 s領域でのPID制御(PID制御)



PID制御は、プロセス制御系を中心に最も現場で多く使われているフィードバック制御のほうしきである。
PIDはそれぞれ、Propotional(比例)、Integral(積分)、Derivative(微分)の頭文字であり、
つまり、現在(比例)、過去(積分)、未来(微分)の情報を操作量に反映させるものである。

5.1 PID制御



ココにはないが、図5.1で示されているコントローラには3つの要素があり、それらが並列結合されている。

・比例動作(P動作):制御量y(t)とその目標量r(t)との偏差e(t):r(t)-y(t)が大きければ操作量u(t)を大きくし、小さければ小さくする。
         これは、現在の情報を反映している。

・積分動作(I動作):偏差の積分値を反映する。過去の情報を反映する制御を行ない、定常偏差を改善する。

・微分動作(D動作):偏差の変化量を反映する。偏差の動向を予測するような制御を行い、安定性を改善する。


これを式で表すと

u(t) = kp*(e(t) + 1/TI*int[0-t]{e(γ)}dγ + TD*de(t)/dt)
  = kp*e(t) + kI*int[0-t]{e(γ)}dγ + KD*de(t)/dt

となる。この時、

kp = 比例ゲイン
kI = kp/TI = 積分ゲイン
kD = kp*TD = 微分ゲイン
TI = 積分時間
TD = 微分時間

と呼ぶ。

また、プロセス制御でよく用いられる100/kpを比例帯と呼び、PBで表す。
そして、PBは一定の目標値rとしてP制御を行った時の定常偏差e_∞=r-y_∞を用いると

PB = e_∞/u_∞ * 100 [%]

で表すことが出来る。また、PIDの式をラプラス演算子sを用いて表すと

u(s) = C(s)e(s)

C(s) = kp(1+1/TIs+TDs) = kp + kI/s + kDs

となる。しかし実際には、微分動作をそのまま用いるとノイズに敏感になりすぎるので、不完全微分を用いた

C(s) = kp(1+1/TIs+TDs) = kp + kI/s + kD*s/(1+γs)

が用いられることが多い。この時、γはTD/10程度に選ばれる事が多い。

また、PIDのうちのいくつかの係数を0にすることによって、PIDは以下の様々な制御形式に変化させることが出来る。

・P制御
 kI = KD = 0とするとPだけ残る。この時のコントローラをPコントローラと呼ぶ。これは最も単純なフィードバック制御である。

・PI制御
 kD = 0とすることでPI制御にすることが出来る。この時のコントローラをPIコントローラと呼ぶ。
 PIコントローラには積分器が含まれているのでステップ状の目標値に定常偏差なく追従し、
 また、ステップ状の外乱の影響を完全に除去することができる。そのため、PI制御はモータなどのサーボ系の制御に使われることが多い。

・PD制御
 kI = 0とすることでPD制御にすることが出来る。この時のコントローラをPDコントローラと呼ぶ。
 ロボットのマニピュレータでは後述する微分先行型のPD制御が使われることが多い。


PID制御の三つのパラメータkp,TI,TDを決定する方法には様々なものがある。
例えば、プロセス制御の現場では、臨海制御法がよく用いられる。
まず、Pコントローラを用いた予備実験で安定限界となる比例ゲインkpcを小さな値からだんだん大きくすることで調べ、
その後その時の持続周期Tcを用いて、kp,TI,TDを以下の則を用いて決定する。

・パラメータ決定のための指標

P制御の場合 : 比例ゲイン=0.5*kpc
PI制御の場合 : 比例ゲイン=0.45*kpc 積分時間=0.83*Tc
PID制御の場合 : 比例ゲイン=0.6*kpc 積分時間=0.5*Tc 微分時間=0.125*Tc


5.2 改良型PID制御



5.2.1 PI-D制御 (微分先行型PID制御)

通常のPID制御では、偏差の微分値を用いるため、目標がステップ関数など急激に変わる場合は、大きな操作量u(t)を必要としてしまう。
このような場合、偏差の微分値の代わりに、制御量をそのまま用いる事が多い。
このような制御を微分先行型PID制御と呼ぶ。

コントローラを式で表すと、e'(t) = r'(t) - y'(t)の代わりに-y'(t)を用いるので

u(t) = kp*e(t) + kI*int[0-t]{e(γ)}dγ - KD*dy(t)/dt
u(s) = kp*e(s) + kI/s*e(s) - kDs*y(s)

となる。さらに、kIを0とすると、微分先行型PD制御となる。


5.2.2 I-PD制御 (比例微分先行型PID制御)

PI-D制御からさらに比例動作も制御量y(t)に対して働くようにしたものを
比例微分先行型PID制御と呼ぶ。


コントローラを式で表すと、e'(t) = r'(t) - y'(t)の代わりに-y'(t)を用いるので

u(t) = -kp*y(t) + kI*int[0-t]{e(γ)}dγ - KD*dy(t)/dt
u(s) = -kp*y(s) + kI/s*e(s) - kDs*y(s)


ここで、kDを0としたときI-P制御と呼ぶ。

先のI-PD制御の式を書き換えると

u(s) = -kp*y(s) + kI/s*e(s) - kDs*y(s)
= kI/s*(r(s)-y(s)) - (kp+kDs)*y(s)
= kI/s*r(s) - (kp+kI/s+kDs)*y(s)

=(kp+kI/s+kDs)*(kI/(kDs^2+kps+kI))*r(s) - y(s))

となるので、これは2自由度制御系と等価である。

ここで
C1 = kp+kI/s+kDs
C2 = kI/(kDs^2+kps+kI)
とすれば、
入力r(s),d(s)から出力y(s)への伝達関数は

G_yr = P(s)C1(s)C2(s)/(1+P(s)C1(s))
G_yd = P(s)/(1+P(s)C1(s))

となる。つまり、I-PD制御では、目標値信号を二次遅れ要素のフィルタC2に通すことによって滑らかにし、
通常のPID制御を行うことになる。
また、入力外乱抑制特性も通常のPID制御と同じである。

まとめ

5.1

PID制御は3つの要素から成り立つ。

・比例動作(P動作):制御量y(t)とその目標量r(t)との偏差e(t):r(t)-y(t)が大きければ操作量u(t)を大きくし、小さければ小さくする。
         これは、現在の情報を反映している。
・積分動作(I動作):偏差の積分値を反映する。過去の情報を反映する制御を行ない、定常偏差を改善する。
・微分動作(D動作):偏差の変化量を反映する。偏差の動向を予測するような制御を行い、安定性を改善する。

式で表すと
u(t) = kp*(e(t) + 1/TI*int[0-t]{e(γ)}dγ + TD*de(t)/dt)
  = kp*e(t) + kI*int[0-t]{e(γ)}dγ + KD*de(t)/dt
となる。

また、各パラメータは

kp = 比例ゲイン
kI = kp/TI = 積分ゲイン
kD = kp*TD = 微分ゲイン
TI = 積分時間
TD = 微分時間

と呼ぶ。
さらに。プロセス制御でよく用いられる100/kpを比例帯と呼び、PBで表す。
また、PIDのうちのいくつかの係数を0にすることによって、PIDはP制御、PD制御、PI制御など様々な制御形式に変化させることが出来る。

PID制御には原始パラメータが三つあり、決定する方法には臨界制御法がよく用いられる。

5.2

PID制御は現実にはもう少し進歩していて、コントローラへの入力に偏差を使うのではなく、いくつかは制御量-y(t)を直接使う制御法がある。
微分動作のみに-y(t)を用いるとPI-D制御となり、さらに比例動作にも-y(t)を用いるとI-PD制御となる。
I-PD制御は2自由度制御系と等価である。


わからないところ

ひさびさにわからん語が出てきた。

1.不完全微分てなに
2.自由度制御系てなに

英語その24


§24

apparently : どうやら
be willing to do : ~してもいいと思う
take on : 引き受ける
burden : 負担
intend to : ~するつもりである
take out : デートする

Apparently He is intended to take her out.
It's to too over burden to take on her.
He's willing to neglect.

estimate : 見積もる
somehow : 何とかして
count on : 頼る
see to : 必ず何とかする
appreciate : 感謝する

I'm counting on you to esimate it somehow.
I'll appreciate if you promise that see to .

pretend : ふりをする
ethusiastic : 熱心な
promote : 昇進する
at the expanse of : ~を犠牲にして
colleague : 同僚
ashamed : 恥じている

He ashamed of that promote by pretending ethusiastic and at the expanse of his colleague.

recession : 景気後退
set in : 始まる
employee : 従業員
lay ~ off : ~を解雇する
one after another : 次々と
pessimistic : 悲観的な
concern : ~心配させる

I get pessimistic and I'm concerned that to laying employee off by recession will set in.

confront : 立ち向かう、立ちはだかる
hardship : 困難
authority : 当局
strive : 懸命に努力する
in vain : 無駄に
currency : 通貨
reduce : 減らす
dificit : 赤字

We are confronted from hardship, so authority has to strive to reduce dificit.
You should stop worrying currency in vain.

英語その23

これで折り返し、近傍セクションが非常に怪しいのは回数が少ないからだろうか

§23

obviously : 明らかに
advertisement : 広告
assemble : 組み立てる
VCR : ビデオデッキ
efficient : 効率的な
machinery : 機械類
labor : 労働

Obviously This advertisement want to advertise labor machinery to assemble VCR efficiently.

virtual : 実質的な
internal : 国内の、内部の
commerce : 取引、商業
with A B : AがBなので
restriction : 制限
enterprise : 企業

With virtual restriction abolished, internal commerce is dominated by one enterprise.

ridiculous : 馬鹿げた
venture : 事業
go bunkrupt : 破産
look up : 上向く
profit : 営業利益

It seemed that our profit looks up by ridiculous venture but we have gone bunkrupt.

branch : 支店
drop ~ a line : ~に手紙をかく

When you go to branch, please drop me a line.

制御工学その16

4.4 MATLAB/Simulinkによる演習



今回もMATLABは手に入らなかったのでscilabが頑張る。もう半分来てしまった。

4.4.1 ブロック線図の結合と目標値応答、入力外乱応答

MATLABだと便利な関数feedbackがあるらしいが以下略
scilabにもある「/.」演算子とか*とか+で頑張る。

直列結合は*で

並列結合は+-で

フィードバック結合は/.で計算することができる。


-->sysP1 = 1/(s^2+3*s+2)
sysP1 =

1
---------
2
2 + 3s + s

-->sysP2 = 1/(10*s+1)
sysP2 =

1
-------
1 + 10s



という二つの伝達関数に対し、それぞれの結合を行う。

上から直列結合、並列結合(+)、並列結合(-)



-->sysP1*sysP2
ans =

1
-------------------
2 3
2 + 23s + 31s + 10s

-->sysP1+sysP2
ans =

2
3 + 13s + s
-------------------
2 3
2 + 23s + 31s + 10s

-->sysP1-sysP2
ans =

2
- 1 + 7s - s
------------------
2 3
2 + 23s + 31s + 10s



フィードバック結合


-->fb = sysP1/.sysP2
fb =

1 + 10s
-------------------
2 3
3 + 23s + 31s + 10s


それぞれの内部の入力はG_yrやG_ydはMALABならfeedback関数でできるらしいがscilabはよくわからん。
ので直接計算

制御対象、コントローラの伝達関数はそれぞれ


-->sysp = 5/(s^2+2*s+2)
sysp =

5
---------
2
2 + 2s + s

-->sysc = 2
sysc =

2.



ここへ内部伝達関数を求める



-->sysGyr = sysp*sysc/(1+sysp*sysc)
sysGyr =

10
----------
2
12 + 2s + s


-->sysGyd = sysp/(1+sysp*sysc)
sysGyd =

5
-----------
2
12 + 2s + s

-->sysGer = 1 - sysGyr
sysGer =

2
2 + 2s + s
----------
2
12 + 2s + s

-->sysGed = -sysGyd
sysGed =

- 5
-----------
2
12 + 2s + s



なので、目標値をr(t)=ステップ入力としたときの目標値応答を書くには

plot2d(t,csim('step',t,sysGyr))

んで



入力外乱応答の場合は

plot2d(t,csim('step',t,sysGyd))

んで



4.4.2 simulinkを使ったブロック線図の結合

複雑なブロック線図はSimulinkを使うといいらしい。もちろん無いのでXcosががんばる。

ブロック線図を作ったまではいいけど、xcosでその先のブロック図から式を導出する方法がわからなかったので断念。
ScilabはMATLABと同じくらいできるってのは、本当にわかってる奴の話なんだな。




4.4.3 Simulinkを使ったシミュレーション

Simulinkだとわざわざ時間の計測を行う変数やブロック作ってたけど、Xcosはそもそもシミュレートに時間軸必須なので
自動的に時間も記録される。

今回の図をXcosで作ると




ここで、右側のTo Workspaceが出力y(t)、上が偏差e(t)
左のstep入力が目標値r(t)、真ん中が入力外乱d(t)である。

目標値応答を求めるなら、r(t)=1,d(t)=0

でシミュレートした後プロット

plot(y.time,y.values)

ここで、Xcosでは変数yにすでに時間が含まれている。

結果




入力外乱応答ならr(t)=0,d(t)=1

結果




問題4.9

コントローラ(ゲイン)を

C(s) = (2s+1.25)/s

としてシミュレートしてみる。

ブロック図は



目標値応答は




入力外乱応答は




で、入力外乱応答が0に収束してて非常によさそうな結果になった。

4.4.4 根軌跡

MATLABでは以下略

Scilabではevansという関数

つまり



-->sysPCd = 1/((s+1)*(s+4)*(s+7))
sysPCd =

1
-----------------
2 3
28 + 39s + 12s + s

-->evans(sysPCd)



結果




いまいちMATLABのサンプルと合わないが、観察すると同じ感じではある。

問題4.10

めんどいのでひとつだけ

P(s)C'(s) = (s+1)/(s+2)(s^2+2s+2)

結果




軸のスケールが違うせいで模範解答に見えないけど多分合ってる。


まとめ

Scilabなかなかやる。

英語その22


§22

identify A with B : AとBは同じものと考える
urban : 都会の
appear : ~のようにみえる
attractive : 魅力的な
stands for : ~の略である

Be urban is appeard to be identified with be attractive.

household : 家庭の
appliance : 電化製品
convenient : 便利な
adequate : 十分な
keep up with : 付いていく
catch up : 追いつく

It is hard to catch up and keep up with houshold appliance which is convenient but not adequate.

tough : 難しい
keep pace with : 遅れず付いていく
rush : 焦ってする
nature : 性質
medium : 媒体

If you rush but it's tough to keep pace with.
You may be medium.

have to do with : ~と関係がある
a bunch of : ~たくさんの
thrive : 繁栄している
hub : 中心
plenty of : たくさんの
room : 余地
improvement : 改良
invention : 発明品
superior : 優れている
conventional : 従来の
in ~ respect : ~の点で

Thrive hub has a bunch of things to do with using superior invention which invented there.
Conventional Items also have plenty of room of improvement in something respect.

firm : 会社
attribute A to B : AはBに起因すると考える
integrate : 統合させる
catch on : 流行る
handy : 便利な
prefer A to B : BよりAを好む
the other way around : 正反対

Something catching on is attributed to firm which provide it and integration of handy function.
I have prefered Udon to Soba. but It's the other way around now.

制御工学その15

4.2.3 ラウスの安定判別法

前節で説明したフルビッツの安定判別法の代わりに、ラウスの安定判別法を使う事もできる。
これはフルビッツと同様2つの条件からなり、

条件1.特性方程式の全ての係数が正

条件2.ラウス数列の要素が全て正

である。
ここで、ラウス数列とは
ラウス表



| s^n| a_n,a_n-2...
|s^n-1|a_n-2,a_n-4...
|s^n-2| b1, b2...
|s^n-3| c1, c2...

ここで

b1 = (a_n-1*a_n-2)-(a_n*a_n-3)/a_n-1
c1 = (b1*a_n-3)-(a_n-1*b2)/b1

という表を作った時の第1列である。
つまり、n=3、特性方程式が3次のときラウス数列は

a_n,a_n-2,b1,c1

となる。
例4.3をラウスの安定判別法により解いてみる。

C(s) = (kp*s+ki)/s

P(s) = 1/Js^2+cs+Mlg

なので特性方程式は

Δ = Js^3 + cs^2 + (kp+Mlg)s + ki

条件1、係数が全て正でなければならないので

kp > -Mlg
ki > 0

条件2

ラウス数列は

a_3,a_1,b1,c1

a_3 = J
a_1 = kp+Mlg
b1 = a_2*a_1-a_3*a_0/a_2 = (kp+Mlg)c-Jki/c
c1 = a0

これらが全て正であればいいので

kp+Mlg > ki*J/c

ここから

kp > -Mlg
0 < ki
という範囲が得られる。

問題4.4

4.3をラウスの安定判別法で解く。

P(s) = 5/(s^2+2s+2)

という二次遅れ系の安定性を考える

(1) C(s) = kpとした時の安定となるkpの範囲を求める。

特性方程式は

s^2+2s+2 + 5kp = s^2 + 2s + (2+5*kp)

ラウス法から

条件1より

5kp > -2

条件2より

ラウス数列は

a2,a1,b1=a0

これは条件1と同じなので無視すると
結局

kp > -2/5

という式が残る。

(2) C(s) = kp*s+ki/s

とすると

特性方程式は

s(s^2+2s+2) + 5(kps+ki) = s^3 + 2s^2 + (5kp+2)s +5ki

条件1より

kp > -2/5
ki > 0

条件2より

ラウス数列は

a_3,_1,b1,c1=a_0

a_3 = 1
a_1 = 5kp+2
b1 = a_2*a_1-a_3*a_0/a_2 = 10kp+4-5ki/2
c1 = 5ki

意味があるはb1だけで、これが正となるのは

10kp+4 - 5ki > 0

ここまで来るとフルビッツの時と全く同じ式なので

結局


kp > -2/5
ki < 10kp+4/5

となる。

4.2.5 根軌跡

根軌跡とは、C(s) = k*C'(s)において

kを0から∞まで増大させた時の特性方程式

Δ = 1+k*P(s)C'(s) = 0

の根となる点の変化の軌跡である。
通常、複素平面上に根を×、零点を○で表し、kが増大する方向に矢印を書く。

例えば、P(s) = 5/(s^2+2s+2)
の根軌跡を考える。

C(s)=kp

とすると、特性方程式は

s^2 + 2s + (2+5*kp) = 0

この根は

s = -1±sqrt(-1+5kp)i

となるので、ここでkpが増大していくと、sの虚部が増大していくことになる。
これはつまり、目標値応答が振動的になっていくことを意味している。

例では、根を解析的に求めることができたが、実際には難しいことが多い。
そこで、以下に示す根軌跡の性質を利用することが多い。

性質1 根軌跡の支点はP(s)C'(s)のn個の極であり、終点はP(s)C'(s)のm個の零点とm-n個の無限遠点である。
    また、根軌跡は実軸に対して対称となる。

性質2 実軸上の点に対し、その右側に実軸上の極と零点があわせて奇数個存在するならば、その点は根軌跡上の点である。

性質3 無限遠点に向かう根軌跡n-m本の漸近線は、
    始点が (1/n-m * (Σ[i=1:n]{p_i} - Σ[i=1:m]{z_i}),0) p_i=極,z_i=零点
    勾配が (2l+π)/(n-m) l=0.1.2本の漸近線

性質4 d(1/P(s)C'(s))/ds = 0
    という式を満たす根が根軌跡上にあるとき、その点が実軸上での分岐点である。

性質5 根軌跡が虚軸と交わる点は安定限界を意味するので、前節の安定判別法で虚軸との交点が求まる。


例として以上の性質より

P(s)C'(s) = 1/(s+1)(s+4)(s+7)

であるときの根軌跡を考える。

性質1より、根軌跡の支点はP(s)C'(s)の極-7,-4,-1であり、零点を持たないのでこれらは無限遠点に向かう。

性質2より、実軸上に3つの極があるので、-7
性質3より、無限遠点に向かう根軌跡の3本の漸近線の支点は1/3*-12より、(-4.0)であり、勾配はそれぞれ1/3*π、π、5/3*πである。

性質4より、(s+1)(s+4)(s+7)をsで微分した、s^2+8s+13=0の根は-4±sqrt(3)なので、そのうち根軌跡上にある点(-4+sqrt(3),0)が実軸上の分岐点である。

性質5より、特性方程式は (s+1)(s+4)(s+7)+k = s^3+12s^2+39s+28+k

ラウスの安定判別法より、

k > -28 ,

a_2*a_1-a_3*a_0/a_2 = 12*39 - 28-k = 468 -28 + k > 0

より

-28 < k < 440

という条件が安定条件である。また、根軌跡上ではk>0なので

0
s^3+12s^2+39s+468の根

s = -12,±sqrt(39)i

であるため、虚軸との交点は(0,±sqrt(39)i)

である。

以上の性質を持った根軌跡を描くことが出来る。はず。やらないけど。

問題は略。MATLABつかっていつかやる。

4.3 フィードバック制御系の定常特性



4.3.1 目標値追従特性

本章で扱ってきたフィードバック系制御系では、目標値r(s)から偏差e(s)への伝達関数は

G_er(s) = 1/(1+P(s)C(s))

である。よってP(s)がC(s)によって安定化されているとき
偏差e(t)の定常値e_∞は

e_∞ = lim[t→∞]{e(t)} = s*lim[s→0]{G_ur(s)*r(s)}

とくに、目標値がステップ入力の時は

e_∞ = lim[s→0]{G_ur(s)} = 1/(1+lim[s→0]{P(s)C(s)})


これを、定常位置偏差と呼ぶ。
したがって、lim[s→0]{P(s)C(s)}が十分大きくなるようにC(s)を設計すれば、定常位置偏差は0に近づく。
定常位置偏差が0になるのはlim[s→0]{P(s)C(s)}=∞のときであり、例えば

P(s)C(s) = 1/s * P'(s)

のように、積分器を少なくとも一つ含むのならば、定常位置偏差は必ず0になる。
このような制御系を1型の制御系と呼ぶ。

問題4.6

4.3のフィードバック制御系において、制御対象が

P(s) = 5/s^2+2s+2

とする。
このとき
(1)C(s) = 2,5のときの定常位置偏差を求める

定常位置偏差e_∞は

e_∞ = 1/(1+lim[s→0]{P(s)C(s)})

C(s) = 2のとき、
P(s)C(s)) = 10/s^2+2s+2

よって

lim[s→0]{P(s)C(s)} = 5

よって
e_∞ = 1/6

C(s) = 5のとき

P(s)C(s)) = 25/s^2+2s+2

よって

lim[s→0]{P(s)C(s)} = 25/2

よって
e_∞ = 2/27


(2)
C(s) = 2s+1.25/s = (2s+5/4)/s

のときr、
P(s)C(s)) = 2/s^2+2s+2 * (2s+5/4)/s = (4s+5/2) / (s^2+2s+2)*s

よって

lim[s→0]{P(s)C(s)} = ∞

よって
e_∞ = 0

4.3.2

入力外乱抑制特性

次に、入力外乱d(s)から制御量y(s)を考える。
伝達関数は

G_yd(s) = P(s)/(1+P(s)C(s))

であり、入力外乱をステップ入力としたとき、定常値y_∞は

y_∞ = lim[s→0]{P(s)/(1+P(s)C(s))}

と、いつもの最終値定理より導出できる。
したがって、s→0の時、C(s)が十分大きくなるように設計すれば、ステップ状の入力外乱が制御量に与える影響を小さくすることができる。

完全にy_∞が0になるためには、lim[s→0]{C(s)} = ∞あるいは、P(0)=0

つまり、前と同じようにC(s)が積分器を一つふくんでいるか、あるいはP(s)が微分器を一つ含んでいる必要がある。

問題4.7

今回は、目標値なしで入力外乱がステップ入力であった時のy_∞を考える。
今回も

P(s) = 5/(s^2+2s+2)
C(s)もいつもの3種類で

C(s) = 2
C(s) = 5
C(s) = (2s+1.25)/s

である。

y_∞ = lim[s→0]{P(s)/(1+P(s)C(s))}

なので、

(1-1) C(s) = 2のとき、

P(s)/(1+P(s)C(s)) = 5/(s^2+2s+2) / (1+10/(s^2+2s+2)) = 5/s^2+2s+12

よって

y_∞ = lim[s→0]{P(s)/(1+P(s)C(s))} = 5/12

となる。

(1-2) C(s) = 5のとき、

P(s)/(1+P(s)C(s)) = 5/(s^2+2s+2) / (1+25/(s^2+2s+2)) = 5/s^2+2s+27

よって

y_∞ = lim[s→0]{P(s)/(1+P(s)C(s))} = 5/27

となる。

(2) C(s) = (2s+5/4)/sのとき、

P(s)/(1+P(s)C(s)) = 5/(s^2+2s+2) / (1+(10s+25/4)/s*(s^2+2s+2)) = 5/(s^2+2s+2) / (s*(s^2+2s+2)+(10s+25/2)/s*(s^2+2s+2)) = 5s/(s^3+2s^2+12s+25/2

よって

y_∞ = lim[s→0]{P(s)/(1+P(s)C(s))} = 0/(25/2) = 0

となる。

4.3.3 フィードバック制御における定常特性のまとめ

コントローラC(s) = kpとすると、

kpを大きくすれば、定常位置偏差e_∞は0に近づく。
ステップ状の入力外乱d(t)が制御量y(t)の定常値y_∞に与える影響は小さくなる。

しかし、過渡特性に置いて、極の虚部が増大するので、安定度が悪くなる。

また、コントローラC(s)に積分器を含ませることによって定常特性が

定常位置偏差が0になる
ステップ状の入力外乱d(t)が制御量y(t)の定常値y_∞が0になる

という特徴をもつ。

まとめ

4.2.4

フルビッツの安定判別法と等価のラウスの安定判別法がある。
これはフルビッツと同様2つの条件からなり、

条件1.特性方程式の全ての係数が正

条件2.ラウス数列の要素が全て正

である。
ここで、ラウス数列とは
ラウス表



| s^n| a_n,a_n-2...
|s^n-1|a_n-2,a_n-4...
|s^n-2| b1, b2...
|s^n-3| c1, c2...

ここで

b1 = (a_n-1*a_n-2)-(a_n*a_n-3)/a_n-1
c1 = (b1*a_n-3)-(a_n-1*b2)/b1

という表を作った時の第1列である。


4.2.5 根軌跡


根軌跡とは、C(s) = k*C'(s)において

kを0から∞まで増大させた時の特性方程式

Δ = 1+k*P(s)C'(s) = 0

の根となる点の変化の軌跡である。

通常解析的に求めることは難しいが、下に上げる5つの性質により推測することが出来る。

性質1 根軌跡の支点はP(s)C'(s)のn個の極であり、終点はP(s)C'(s)のm個の零点とm-n個の無限遠点である。
    また、根軌跡は実軸に対して対称となる。

性質2 実軸上の点に対し、その右側に実軸上の極と零点があわせて奇数個存在するならば、その点は根軌跡上の点である。

性質3 無限遠点に向かう根軌跡n-m本の漸近線は、
    始点が (1/n-m * (Σ[i=1:n]{p_i} - Σ[i=1:m]{z_i}),0) p_i=極,z_i=零点
    勾配が (2l+π)/(n-m) l=0.1.2本の漸近線

性質4 d(1/P(s)C'(s))/ds = 0
    という式を満たす根が根軌跡上にあるとき、その点が実軸上での分岐点である。

性質5 根軌跡が虚軸と交わる点は安定限界を意味するので、前節の安定判別法で虚軸との交点が求まる。


4.3

フィードバック制御系の定常特性について。
4.3.3で大体まとめられている。


わからないところ

根軌跡を考える際

P(s)C'(s)*kとおいたが、これは無条件のC(s)に対してのkを無理やり括り出して考えてみたってことでいいのだろうか

英語その21


§21

time and again : しつこく繰り返す
petroleum : 石油
blessing : 天の恵み
curse : 災いのもと
abundant : 豊穣である
fossil : 化石の

I exclaim time and again that abundance of fossil fuel is blessing and curse.

region : 地域
relatively : 相対的に、比較的に
wheat : 小麦
account for : ~を占める
基数-序数 : 分数

That region provides wheet tha account for much relatively.

indispendable : 不可欠な
humid : 高湿度の
climate : 気候
peninsula : 半島
erupt : 噴火する
regular : 定期的な

This peninsula is indispensable to humid climate and volcano of regular erapution.

canal : 運河
prefecture : 県
More often than not : 大抵
famine : 飢饉
accompany : 付随する

More often than not prefecture produces public undertaking for canal, accompanies famine.

tens of thousands : 数万の(tensの複数から)
resident : 住民
give way : 崩れ落ちる
forecast : 予報
be likely to : ~しそうだ

It is forecast that the ground will give way and tens of thousands resident be caught up in it.

It's up in the air : 未だ決まってない
call off : 中止する
make no difference : どうでもいい
chance are : 多分
clear up : よくなる
later on : この後

It's up in the air whether situation will clean up later on.
It's makes no difference to us, chance are the event will call off.


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