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制御工学その26

なかなか時間が取れない。



7.1.4 ボード線図と安定余裕

閉ループ伝達関数のボード線図を描くことによって、ゲイン余裕・位相余裕を調べることが出来る。

ゲイン余裕とは、位相交差周波数ω_pcにおけるゲインが0をどれほど下回っているかであり、
位相余裕は、ゲイン交差周波数ω_gcにおける位相が-180°からどれほど下回っているかである。

そこで、ボード線図から簡単に読み取ることができる。図略。

7.2 PID制御の周波数領域における安定度



7.2.1 P制御の周波数特性

Pコントローラの周波数特性は、ゲインが

G = 20*log(10){kp},

位相が

P = 0

となるので、Pコントローラは閉ループ伝達関数のゲインを20*log(10){kp}倍にするが、位相には影響を与えない。
そのため、kpを大きくするに従って、ゲイン余裕、位相余裕が小さくなり、安定度が失われていく。

7.2.2 PI制御の周波数特性

PIコントローラ

C(s) = kp*(1+1/T_is)

の周波数特性を見る。

PIコントローラのゲインは、低周波領域(ω << 1/T_i)では-20[dB/dec]で減少し、
折点周波数 1/T_i を境にして、高周波領域(1/T_i << ω)では一定値20*log(10){kp}である。

また、位相は周波数が大きくなるに従い、-90から0まで増加する。

このように、PI制御は低周波数におけるゲインを大きくするため、定常位置偏差e_∞を0にする働きがある。
その反面、位相を最大で90°遅らせるため、速応性が失われる。


7.2.3 PD制御の周波数特性

PDコントローラ

C(s) = kp(1+T_Ds)

の周波数特性を見る。

PDコントローラのゲインは低周波領域(ω << 1/TD)では一定値20*log(10){kp}であるが、
折点周波数(1/TD)を境に高周波数では20[dB/dec]で増加する。

また、位相は周波数が大きくなるにつれ、0から90まで増加する。

すなわち、PD制御は高周波数に置いて位相を最大で90°すすめるので、速応性を改善できる。
その反面、ゲインが高周波で大きくなるので、高周波のノイズに弱く、また初期の操作量が過大となる問題がある。


7.2.4 PID制御の周波数特性

PIDコントローラ

C(s) = kp(1+1/T_is+T_Ds)

の周波数特性を見る。

PIDコントローラのゲインは、低周波領域(ω << 1/T_i)では20[dB/dec]で減少し、
1/T_i << ω << 1/T_D付近では一定値20*log(10){kp}、
高周波領域(1/T_D << ω)では20[dB/dec]で増加する。

また、位相は-90から90まで、周波数の増大と主に増加する。

つまり、PI制御とPD制御の良いところを兼ね備えており、速応性、定常特性を同時に改善できる。

まとめ

安定余裕はボード線図を見ればわかる。
位相交差周波数・ゲイン交差周波数を見て、そのときのゲイン・位相と安定限界を見比べれば良い。

7.2

PI・PD・PID制御の周波数特性を見た。

I要素は定常特性を改善し、D要素は速応性を改善している。
PID制御はPI・PDの二つの制御の良いところを兼ね備えた非常に都合がいいように見える制御であった。
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制御工学その25

例7.2 簡略化されたナイキスト安定判別法の利用例

安定な一次遅れの制御対象

P(s) = 1/1+Ts  T>0

C(s) = kp  kp>0

を考える。
閉ループ伝達関数

L(s) = kp/(1+Ts)

のゲイン、位相差は

L_g = |L(ωi)| = kp/(1+Tωi) = kp(1-Tωi)/(1+(Tω)^2) = sqrt(kp^2/(1+(Tω)^2)^2 + kpTω^2/(1+(Tω)^2)^2)) = sqrt(kp^2(1+Tω^2) / (1+Tω^2)^2)
  = kp*sqrt(1+(Tω)^2) / 1+(Tω)^2 = kp/sqrt(1+Tω^2)

L_p = ∠L(ωi) = tan-1(-Tω) = -tan-1(ωT)

なので、ω=0 の時、L_g = kp, L_p = 0
ω = ∞の時、L_g = 0 , L_p = 90

また、L(ωi) = kp(1-Tωi)/(1+(ωT)^2)

の虚部が0となるのはω=0の時のみであるので、L(ωi)のベクトル軌跡は0の右側の無限大から0へ向い、
(-1,0)の常に右側である。したがって、このシステムはkpによらず安定である。

問題7.1

簡略化ナイキスト安定判別法によりシステムを調べる

P(s) = ω_n^2/(s^2+2ζω_ns+ω_n^2)



C(s) = kp

を調べる。

制御対象L(s) = kp*ω_n^2/(s^2+2ζω_ns+ω_n^2)の周波数伝達関数は

L(ωi) = kp*ω_n^2 / (-ω^2 + 2*ζ*ω_n*ωi + ω_n^2) = kp*ω_n^2 / (ω_n^2-ω^2 + 2ζω_nωi) = kp*ω_n^2*(ω_n^2-ω^2-2ζω_nωi) / ((ω_n^2-ω^2)^2 + (2ζω_nω)^2)

ここから、ゲインと位相差を求める

ゲイン = L_g = sqrt((kp*ω_n^2*(ω_n^2-ω^2))^2 + (kp*ω_n^2*2ζω_nω)^2 / ((ω_n^2-ω^2)^2 + (2ζω_nω)^2)

位相差 = L_p = -tan-1(2ζω_nω/ω_n^2-ω^2)

ω = 0のとき

L_g = kp*ω_n^2
L_p = 0

ω = ∞のとき
L_g = 0
L_p = ∞


実部は

kp*ω_n^2*(ω_n^2-ω^2) / ((ω_n^2-ω^2)^2 + (2ζω_nω)^2)

ω = 0 のとき kp*ω_n^2
ω = ∞のとき 0

よって-1,0の常に左側……本当か?


問題7.2

(1)

P(s) = 1/(s+1)^2(s+2)

L(s) = kp/(s+1)^2(s+2)

L(ωi) = kp/(ωi+1)^2*(ωi+2)

  = kp(ωi-1)^2*(ωi-2) / (1+ω^2)^2*(4+ω^2)

  = kp*(1-2ωi-ω^2)*(ωi-2) / (1+ω^2)^2*(4+ω^2) = -kp*(2-4ωi-2ω^2 - ωi - 2ω^2 +ω^3i) / (1+ω^2)^2*(4+ω^2) = kp*(4ω^2-2 + 5ωi-ω^3i) / (1+ω^2)^2*(4+ω^2)

ゲイン = kp/|ωi+1|^2*|ωi+2|

|ωi+1| = sqrt(1+ω^2)
|ωi+2| = sqrt(4+ω^2)

L_g = kp/ (1+ω^2)*sqrt(4+ω^2)
L_p = -ω^3+5ω/4ω^2-2

ω = 0のとき

L_g = kp/3
L_p = 0

ω = ∞のとき

L_g = 0
L_p = -270

また、虚部が0のとなるのは

5ω-ω^3 = ω^2-5 = 0のときで

ω = sqrt(5)

L_g(sqrt(5)) = kp/6+3 = kp/9

あれー答えとあわないなあ

(2)

P(s) = 1/s(s+1)(s+2)

周波数伝達関数は

L(ωi) = kp/ωi(1+ωi)(2+ωi) = kp*i*(1-ωi)*(2-ωi) / -ω*(1+ω^2)*(2+ω^2) = kp*(-ω^2i+3ω+2i) / -ω*(1+ω^2)*(2+ω^2) = kp(3ω + (-ω^2+2)i) / -ω*(1+ω^2)*(2+ω^2)

ゲインは

L_g = kp/|ωi|*|1+ωi|*|2+ωi|

= kp/ ω*sqrt(1+ω^2)*sqrt(4+ω^2)

虚部が0となるのは

-ω^2+2 = 0

ω = sqrt(2)

その時のゲインは

kp / sqrt(2)*sqrt(3)*sqrt(6) = kp/6

なので安定するkpは

0
となる。
こっちはあってる


7.1.3 安定限界の定義

一般に、コントローラのゲインを大きくすると、安定性は失われていく。
ここでは、閉ループシステムのの安定度、つまり、不安定になるまでにどの程度余裕があるのかを調べる。

なお、不安定になるまでの余裕を安定余裕という。
安定余裕を示す指標として、ゲイン余裕と位相余裕がある。

周波数伝達関数において、位相=-180°となったときに、ゲインが1にどの程度余裕があるのかをデシベル表示で表したものをゲイン余裕という。

G_M = -20log(10){Lω_pc*i}

と定義される。ここでω_pcは位相が-180度となるときのωである。
これを位相交差周波数と呼ぶ。

つまり、ゲイン余裕は位相交差周波数とにおけるゲインと1との比である。
なので

G_M > 0 のとき安定
G_M = 0 のとき安定限界
G_M < 0 のとき不安定

となる。

また、ゲインが1のとき、位相が-180になるまでどの程度余裕があるのかを表したものを位相余裕と呼ぶ。

P_M = 180 + ∠L(ω_gc*i)

で定義される。
ω_gcはゲインが1になるときの周波数で、ゲイン交差周波数と呼ばれる。

したがって

P_M > 0 のとき安定
P_M = 0 のとき安定限界
P_M < 0 のとき不安定

となる。

例略

ゲイン余裕、位相余裕が高くなるほど安定度は高くなるが、安定度を高くし過ぎると応答が遅くなる。
そのため、安定度の目安が大まかに用いられている。

プロセス制御の場合
ゲイン余裕が3~10
位相余裕が20以上

サーボ機構の場合
ゲイン余裕が10~20
位相余裕が40~60

となっている。

問題7.3

P(s) = 1/(s+10)^4

とC(s) = kpで構成される

周波数伝達関数は

L(ωi) = kp/(ωi+10)^4 = kp(10-ωi)^4/(10+ω^2)^4 = (ω^4 + 4ω^3i - 204ω^2 - 400ωi + 10000) / (10+ω^2)^4

= kp*(100-2ωi-ω^2)^2 = kp*(10000

ゲイン = kp/(100+ω^2)^2


位相交差周波数 = Im[L(ωi)] = 4ω^3-400ω = 0

ω^2 - 100 = 0

ω = 10

よって10deg

ゲイン交差周波数

kp/(100+ω^2)^2 = 1

kp = (100+ω^2)^2

100+ω^2 = sqrt(kp)
ω^2 = sqrt(kp)-100
ω = sqrt(sqrt(kp)-100)

ゲイン余裕

ω_pcの時のゲインは

L(ω_pc*i) = kp/40000

G_M = -20*log(10){kp/40000} = -20(log(10){kp} - log(10){40000}) = -20(log(10){kp/4} - 4) = 80 - 20log(10){kp/4}

位相余裕

位相は

L_p = tan-1(4ω^3-400ω/ω^4-204ω^2+10000)

ω_gc = sqrt(sqrt(kp)-100)

計算略

P_M = 180 - 4tan-1(sqrt(sqrt(kp)-100)/10)

これが60となるようなkpを求めればよいので

tan-1(sqrt(sqrt(kp)-100)/10) = 30

sqrt(sqrt(kp)-100)) = 10/sqrt(3)

(sqrt(kp) - 100) = 100/3

sqrt(kp)= 100/3 + 100 = 400/3

kp = 160000/9

まとめ

ナイキストによる判別法の使用例と、安定限界について

システムが不安定になるまでの余裕を安定余裕と呼ぶ。

安定余裕を示す指標として、ゲイン余裕と位相余裕がある。

周波数伝達関数において、位相=-180°となったときに、ゲインが1にどの程度余裕があるのかをデシベル表示で表したものをゲイン余裕という。

G_M = -20log(10){Lω_pc*i}

と定義される。ここでω_pcは位相が-180度となるときのωである。
これを位相交差周波数と呼ぶ。

つまり、ゲイン余裕は位相交差周波数とにおけるゲインと1との比である。
なので

G_M > 0 のとき安定
G_M = 0 のとき安定限界
G_M < 0 のとき不安定

となる。

また、ゲインが1のとき、位相が-180になるまでどの程度余裕があるのかを表したものを位相余裕と呼ぶ。

P_M = 180 + ∠L(ω_gc*i)

で定義される。
ω_gcはゲインが1になるときの周波数で、ゲイン交差周波数と呼ばれる。

したがって

P_M > 0 のとき安定
P_M = 0 のとき安定限界
P_M < 0 のとき不安定

となる。


わからないところ

問題7.2-1

英語その45

これで最後


§45

interfere : ~の邪魔をする
meditation : 瞑想
take place : 行われる
postpone : ~を延期する
burst into : 突然~の状態になる
spoil : ~を台無しにする
solemn : 厳格な
atomosphere : 雰囲気


To postpone that next meditation will take place, he burst into shouting and interfered meditation and maked solemn atomosphere spoiled.

cough : 咳
sneeze : くしゃみ
yawn : あくび
relative : 親戚
pass away : 死ぬ

My relative passed away by cough. sneeze or yawn.

besides : ~に加えて
attend : ~に出席する
funeral : 葬式
arrangement : もろもろの準備
feel for : ~の気持ちがわかる
grief : 深い悲しみ
get over : 克服する

I attended funeral and make arrangements to get over the death.
I don't wanna be lost in the grief of the blue.
I feel for you.

cherish : 大切にする
speaking of : ~といえば
get engaged : 婚約する
I'm at a loss for words : 呆れてものも言えない
breake off : 破局する

Getting engaged who don't cherish lead to break off.

motive : 動機
go easy on : ~に優しくする
go through : ~を経験する
rough : 辛い
period : 期間

I have motives to go easy on who went through rough period.

by the way : ところで
Let's call it a day : きょうはここまで
starve : 飢饉状態にある

By the way, I'm starved.
Let's call it a day.

英語その44

§44


deceive : 騙す
know better : ~しないくらいの分別がある
waste : 無駄にする
depress : 憂鬱にさせる
leave A for B : Aを見捨ててBに行く
be upset : 精神的に動揺している

I know better than to deceive someone.
Needless truth sometimes waste one's time bt depressing to be upset.
I'm going to leave you for a honesty man.

show up : 姿を見せる
see ~ off : ~を見送る
how come? : どうして?
pity : 哀れみ
sob : むせび泣く

He showed up, sobbed that he could'n see her off without pity.

self-confident : 自信がある
ask ~ out : デートに誘う
go with : 付き合う
on and off : ~したりやめたりを繰り返して
for ages : 長い間
as ~ as ever : 相変わらず
indecisive : 優柔不断
settle down : 落ち着く

A self-confident man isn't indecisive so if he want to go with, immediately ask out.
You aren't as settled down as ever for ages, Stop doing on and off.

be taken by : ~に騙される
all along : 最初からずっと
naive : うぶな
see through : 見抜く
even though : 実際に~だけど
be seeing : 付き合っている
be there : そばにいる

I'm taken by them all along. When did you see through my naive?
Even though you're seeing her, I want to be there.

delight : 喜び
go so far as to do : ~さえもする
take back : 撤回する、返品する
serves you right : 自業自得だ
provoke : 挑発する、引き起こす

My delight go so far as to shouting worse and I can't take back it.
It serves you right. You provoked it.

put up with : 我慢する
arrogance : 傲慢さ
take advantage of : ~を利用する
take one's time : 慌てない
reflect on : ~を深く考える
get through : 乗り越える
ordeal : 厳しい試練

I can't put up with his arrogance, even as I take advantage of his personality.
I should get throuh this ordeal. I'm going to reflecting on it with taking my time.

英語その43


§43

spare a minute : 時間を割く
importance : 大事な
trivial : 些細な
be worth : ~の価値がある
as far as A concerned : Aに関して言えば
anything goes : なんでも受け入れる
cautious : 慎重な

As far as it concerned, it is importance and be worth spareing a minute.
She apt to anything goes, but with being cautious any trivial things.

awkward : 気まずい
pause : 間
take by hand : 手を取る
drag : 無理に引っ張って進む
upstairs : 次階へ
comfort : 慰める

Until awkward pause, he thought how to comfort her. after all, he took by her hand and dragged upstairs.

make sure : 確かめる
sound : 深く
creep : 忍び足で歩く
set off : 出発する
come across : 偶然見つける
passionately : 情熱的に
embrace : 抱きしめる、抱擁する

I maked sure he has set off with creeping.
But he came across me, he passionately embraced.

remark : 発言
open to : ~を受けやすい
misunderstanding : 誤解
stand : 我慢する
come over : そこへ行く

Not stand anymore, I'll come over , such remark is open to misunderstanding.

literally : 文字通り
be inclined to : ~する傾向がある
exaggerate : 大げさに表現する
apologize : 謝罪する
make fun of : ばかにする
go too far : 度を越す
be in a better mood : 機嫌がいい

He usually apologize but is inclined to exaggerate and it heard to make fun of listener.
To make matters worse, he is in a better mood, he goes too far literally.

get along with : ~とうまくやっていく
once in a while : 時々
divorce : 離婚する
tear : 破る

I always get along with him, but once in a while I want to tear his dress and divorce.


英語その41・42

新年始まった。いろいろ取り返す。

§41

quite a few : かなりたくさんの
celebrate : 祝う
it won't be long before : ~するまでもうすぐ
help onself to : ご自由にどうぞ
snack : 軽食
in the meantime : その間に

It won't be long before celebration.
Help yourself to snacks which have been provided quite a few.

dressed in : ~を着て
loud : うるさい、けばけばしい
peculiar : 奇妙な
outfit : 服装
stand out : 目立つ
touch : 感動させる
hospitality : もてなし

Hospitality with dressing loud and peculiar outfit can't touch and stand out.

shabby : ぼろぼろの
suitable : ふさわしい
occasion : イベント、行事
intimate : 親密だ
casual : 偶然の、気取らない
acquaintance : 知人

A suitable occasion help make shabby acquaintance casual intimate.

crude : 下品だ
offensive : 不快にさせる~、失礼な、攻撃の
hardly : ほとんど~ない
comprehend : 理解する
imply : 暗示する、ほのめかす

Crude man could hardly comprehend that implying his offensive behavior to himself.

embarassed : どきどきした、恥ずかしい
tease : からかう
all the more : なおさら
irritate : いらいらさせる
timid : 臆病
blush : 赤面する

I often tease him because he is embarassed and blushed when he irritated.
And all the more he become timid.

look down : ~を見下す
rural : 地方の
disguise : 変装
at a glance : 一目見て
chackle : クスクス笑う
backwards : 後ろ前に

I look down him because he chackled rural disguise at a glanece.
His pants is backwards.

§42

keep to onself : ひとりぼっち
belong : 受け入れられる場所にある、所属する
extremely : 極端に
uneasy : 不安な
pretty : かなり
adjust : 順応する
surroundings : 環境

I couldn't adjust my surroundings so I kept to myself and was uneasy.
I want to make myselft belonged extremely.

utterly : 全くの
out of place : 場違い
sophiscated : 洗練された
be into : ~にはまっている
derive A from B : BからAを引き出す
observe : 観察する

He is into observing sophiscated people but he is utterly out of place.
Most ot all mate derive him from it.

for a change : 気分転換に
I'm not up for it : そういう気分じゃない
after you : お先にどうぞ
niece : 姪
sociable : 社交的
mature : 大人になった
for one's age : 年の割には
pass for : 適用する

My niece is sociable and mature for his age.
She can pass for college student.
Do you want to do something for a change?
After you, I'm not up for it.

take care of : ~の世話をする
look forward to : ~を楽しみにする
sincerely : 敬具

I'm looking forward to take care of your dogs.






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