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力学その1

本日のお勉強

岩波書店 力学

3-4 1次元の運動とエネルギー

運動方程式



を積分することを考える。

両辺に をかけると

なので

左辺はとなる。

元の式に戻すと

積分すると

x0からxまでの積分と考え、初期値を考えると x=x0の時c = mv0~2/2となる。


よって最初の式は

ここでとすると、 int[x-x0]{f(x)dx}はU(x)-U(x0)

最初の式は この時左辺はxの関数、右辺は初期値で定まる定数となる。

また、mv~2/2を運動エネルギー、U(x)を位置エネルギーという。

単振動について考える。
m*d~2x/dv = -kxとなるため f(x) = -kxであるからU(x) = 1/2kx~2である
ここから、mv^2/2 + kx~2/x = ka^2/2となる。
これはまた、vとxの座標軸(これを相平面という)において、楕円の式であり、相平面上の図で表すことが出来る。
実際の運動では、摩擦等によってエネルギーが減少いていくため内向きに縮小していく楕円渦巻になる。

問題3-3
単振動の運動方程式 m*d~2x/dt~2 + kx = 0を直接積分せよ

両辺にdx/dtをかける。
m*d^2x/dt^2*dx/dt + kx*dx/dt = 0
左側はdx/dt=vと置くとm/2*dv~2/dt,右側はk/2dx^2/dt
それぞれd/dtで括り出して
d/dt*{m/2*(dx/dt)^2 + kx~2/2}= 0
積分すると
m/2*(dx/dt)^2 + kx2^2/2 + C = 0
つまりエネルギーの式になった。やったね。



今日の分からないところ

dx/dt*dtを積分するとxになるのはいいんだけど
df(x)*dx/dt*dtを積分するとf(x)dxになるのは何で?何でdxのこるの?


まとめ。数式めんどくさすぎるので次からはテキストで我慢する
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