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力学その17

運動座標系に対する運動方程式



地球表面に座標S'をとった場合だと地球の自転につれて、座標原点もO'も移動する。
この場合は、地球の中心に原点を置く慣性系を選べばよく、この慣性系に対するS'の原点の位置ベクトルをr_0とし、
S'系における質点の座標をr'とすると

r = r_0 + r'

により、慣性系Sにおける質点の位置を表すことが出切る。
同様に速度は

v = dr/dt = dr_0/dt + dr'/dt

であり、S'系が角速度ωで回転しているので

dr'/dt = d*r'/dt + ω×r'

である。
さらに加速度は

dv/dt = d^2r_0/dt^2 + d^2r'/dt^2

なので

d^2r'/dt^2 = d^2*r'/dt^2 + 2*ω×d*r'/dt + ω×(ω×r') + d*ω×r'

となる。dω/dtは

dω/dt + d*ω/dt + ω×ω

であるが、ω×ω=0なので結局

dω/dt = d*ω/dtとなる。

ここで、運動方程式

m*dr/dt = F

とすると

m*(d^2r_0/dt^2 + d^2*r'/dt + 2*ω×d*r'/dt + ω×(ω×r') + d*ω×r') = F

d^2*r'/dtについての式に直すと、

m*d^2*r'/dt^2 = F - m*d^2r_0/dt - 2*m(ω×d*r'/dt) - m*ω×(ω×r') - m*dω/dt×r'

となる。ここで右辺第一項は外力、第二項は原点の加速度による慣性力、第三項はコリオリの力、第四項は遠心力である。
最後の項は、回転の加速度による見かけの力である。

例題1

水平面内で一端Oの周りを一定の角速度で回転する管を考える。
管の中にあるある質点の運動を調べる。

まず、直感的な解法から考える。
管の角速度をω,質点の質量m,Oから質点までの距離をrとする。この時質点に働く遠心力はm*ω^2*rである。
そのため運動方程式は

m*dr^2/dt^2 = m*ω^2*r

となる。これをt=0の時初期値aで速度なしとして解くと

r = a*coshωt

となる。

このため質点の角運動量は

L = mωr^2 = m*a^2*ω*cosh^2ωt

となる。角運動量は力モーメントに等しく、今回の力は管が質点に与える抗力のみなので、

dL/dt = N = r*S

となる。したがって抗力Sは

S = 1/r*dL/dt = 1/(a*coshωt)*2*m*a^2*ω^2*coshωt*sinhωt

 = 2*m*a*ω^2*sinhωt

となる。これは管の運動の平面内にあり、かつ管に垂直である。
これはコリオリの力である。


次に、管と共に回る座標系で見た場合を考える。この場合、管に沿ってx軸を取り、管が回転する面内で、xに垂直にy軸を取る。
x,y面内の運動方程式は、回転座標系の運動方程式より

m*d^2x'/dt^2 = 2*m*ω*d*y'/dt + m*ω*x^2 + S_x
m*d^2y'/dt^2 = 2*m*ω*d*x'/dt + m*ω*y^2 + S_y

となる。S_xとS_yは管を一定の角速度で回転させた時の質点のところに加わる力である。

質点は管内にあって、束縛はなめらかであるため

y' = 0, dy'/dt = 0
S_x = 0 , S_y = S

である。Oから質点までの距離をrとすれば、x'=rなので

d^2x'/dt^2 = ω^r
d^2y'/dt^2 = -2*m*ω*dr'/dt + S = 0

となる。これは先と同じ結果である。

問題8-6-1

管の先端まで動いた時の運動を調べる。
管の長さをAとすると、先端の時の質点の速度はωa

また、管の中を通って質点が得た速度はω*sqrt(a^2 - r_0^2)

これを合成したベクトルの方向へ飛ぶ。
また速度は余弦定理とかあのへんから求めて

v = sqrt(aω^2 + ω*sqrt(a^2-r_0^2))

 = ω*sqrt(2*a^2-r_0^2)

となる。正直質点の管中速度の式がどこから出てきたか分からん。?



8-7 地球表面近くでの運動



地球表面で糸におもりをぶら下げると、地球の自転によるコリオリの力は作用しないが、遠心力は作用する。
そのため地球の引力と時点による遠心力の合力がみかけの重力となる。

まず、地球の中心を原点とする座標系で見ると、地表の点r_0は自転(角速度ω)のために

dr_0/dt = ω×r_0

を持つ。この時、相対座標上では動いていないので右辺第一項は無い。
したがって自転のための加速度は

d^2r_0/dt = ω×(ω×r_0)

である。
地表の定点を新しい原点とし、地表に固定した座標系を考えると、質点の運動方程式は

m*d^2*r'/dt^2 = F - m*d^2r_0/dt - 2*m(ω×d*r'/dt) - m*ω×(ω×r') - m*dω/dt×r'

ここで、右辺第二項は

-m*d^2r_0/dt = -m*ω×(ω×r_0)

となり、これは自転による遠心力である。
これは重力の約1/300である。
右辺第四項は質点が原点からr'だけ離れているための遠心力であるが、
今回は地表の話なのでr'の硬派無視できる。
したがって、質点には地球の引力と遠心力が合わさった見かけの重力が鉛直下方に作用する。
鉛直上方にz軸、南方にx軸,東方にy軸をとり、これらの方向に分けて運動方程式を考える。

z軸方向に働く見かけの重力を-mgと書く。

運動方程式において、自転の角速度ωの成分を求める必要がある。
そのため鉛直線が赤道面となす角をλとし、角速度の大きさをω'とすると

ω_x = -ωcosλ
ω_y = 0
ω_z = ωsinλ

となる。そこで

ω×dr/dt は成分ごとに計算すると

ω×dr/dt = -ωsinλ*dy/dt*i + (ωcosλ*dz/dt+ωsinλ*dx/dt)*j - ωcosλ*dy/dt*k

となる。

運動方程式において、

m*d^2*r'/dt^2 = F - m*d^2r_0/dt - 2*m(ω×d*r'/dt) - m*ω×(ω×r') - m*dω/dt×r'

第二項は重力と合わさり、第四項は無視、第五項は一定速度の角運動量なので消え、結局各成分は

m*d^2x/dt^2 = X + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = Y - 2*m*ω*(sinλ*dx/dt+cosλ*dz/dt)
m*d^2z/dt^2 = Z -mg + 2*m*ω*cosλ*dy/dt

となる。ここでX,Y,Zは重力以外の外力の成分である。右辺の第二項は地球の自転によるコリオリの力を表している。

落体に対する自転の影響



南極の方から見れば、高い塔の上は地面よりも早く右に動いている。
そのため、塔の上から落とした物体は地表に対して右の方へ初速度を持っている。
つまり、塔の真下よりも東へずれて落ちるのであるが、これを運動方程式から確かめる。

地球の自転を考慮した運動方程式は先に求めた、

m*d^2x/dt^2 = X + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = Y - 2*m*ω*(sinλ*dx/dt+cosλ*dz/dt)
m*d^2z/dt^2 = Z -mg + 2*m*ω*cosλ*dy/dt

である。
外力がないとすればX=Y=Z=0である。また高さhのところから初速0で落としたとすれば、

t=0で

x=y=0,z=h
dx/dt = dy/dy = dz/dt = 0

となる。物体はだいたいz軸に沿って落下するのでdx/dtとdy/dtは無視してもいい。
したがって第一式と第三式から

x = 0
z = h-1/2*g*t^2

を得る。
この二つを第二式に放り込むと

d^2y/dt^2 = 2*ω*cosλ*g*t

を得るので、これを積分すると

y = 1/3*ω*g*t^3*cosλ

となるため、物体はtの増加にともなって少しずつ東へずれていくのである。
また、tを消去すれば

y = 1/3*ω*g*cosλ*(2(h-z)/z)^(3/2)

となる。これをナイルの放物線という。

北極や南極ではλ=±π/2であるため、ずれはおこらない。
λ=45°の時h=100mで東へ1.5cmほどずれて落下する。

このずれはコリオリの力によるものであるが、見かけの力である。
実際には、上空に比べて遅く移動する地表を基準にしているために生じたとうほうへのずれである。

フーコー振り子



長い振り子を用いて地球の自転を直接示す実験があった。これをフーコー振り子という。
大きなおもりと長いひもの振り子を北極で揺らしたとすると、太陽系に対して一定の向きを保つために、振動面が回転する。
この回転は一日に一回の周期であり、地球の自転に対し逆向きである。
局地以外でも振動面は回転し、その周期は緯度λの地点において

1日/sinλ

で与えられる。赤道上では振動面の移動は起こらない。
これを運動方程式から調べる。

紐の長さをl,張力をS,おもりの質量をmとすると運動方程式は

m*d^2x/dt^2 = X + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = Y - 2*m*ω*(sinλ*dx/dt+cosλ*dz/dt)
m*d^2z/dt^2 = Z -mg + 2*m*ω*cosλ*dy/dt

から

m*d^2x/dt^2 = -S*x/l + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = -S*y/l - 2*m*ω*(sinλ*dx/dt+cosλ*dz/dt)

ここでx/l,y/lはそれぞれsin角と同意味である。
小さな振動ではzは-lであり、一定であるため
dz/dt=0となる。よって結局

m*d^2x/dt^2 = -S*x/l + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = -S*y/l - 2*m*ω*sinλ*dx/dt

となる。これらにそれぞれ-y,xをかけて加えると

x*d^2y/dt^2 - y*d^2x/dt = -2*ω*(x*dx/dt+y*dy/dt)*sinλ

となり、さらに変化すると

d/dt(x*dy/dt-y*dx/dt) = -ωsinλ*d/dt(x^2+y^2)

である。両辺をtで積分すれば

x*dy/dt - y*dx/dt = -ωsinλ(x^2+y^2) + C

である。初めに釣り合いの点x=y=0を通過するとすれば左辺はなのでCも0になる。
ここで極座標

x= rcosφ
y = rsinφ

を用いると、φはxとyの織り成す平面の回転角であり、振動面の回転角となる。

式で表すと

rcosφ*rcosφ*dφ/dt + rsinφ*rsinφ*dφ/dt = -ω*sinλ*r

となり結局

dφ/dt = -ω*sinλ

となる。したがって振動面φはωsinλの角速度で少しずつ方向を変えるということがわかる。


例題1

フーコー振り子の運動方程式

m*d^2x/dt^2 = -S*x/l + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = -S*y/l - 2*m*ω*sinλ*dx/dt


は振幅が非常に小さいとするとSがmgに接近していくため

m*d^2x/dt^2 = -mg*x/l + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = -mg*y/l - 2*m*ω*sinλ*dx/dt

とかける。ここでω' = ωsinλとすると、

m*d^2x/dt^2 = -mg*x/l + 2*m*ω'*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = -mg*y/l - 2*m*ω'*dx/dt

ζ = x+iyとすると

d^2ζ/dt = -ω_0^2ζ - 2*ω'*i*dζ/dt

ここで、ω_0 = sqrt(g/l)
となる。これをとくと

ζ = e^-iω't*(A*e^i*ω_0'*t + B*e^-i*ω_0'*t)

ただしω_0' = sqrt(ω_0^2+ω'^2)
t=0でx=y=0,dx/dt = v_0,dy/dt = 0とすれば

A = -B = v_0/(2*i*ω_0')

ζ = x + y*i

より、

x = v_0/ω_0 * sinω_0't*cosω't
y = -v_0/ω_0 * sinω_0't*sinω't

を得る。計算略。

問題8-7-1

λ=35.43なので

360/24 *sin35.43 = 8.8°/時間

まとめ

8-6

回転している座標系に対し、運動方程式を調べた。
この時の運動方程式は

m*d^2*r'/dt^2 = F - m*d^2r_0/dt - 2*m(ω×d*r'/dt) - m*ω×(ω×r') - m*dω/dt×r'

であり、右辺第一項は外力、第二項は原点の加速度による慣性力、第三項はコリオリの力、第四項は遠心力である。
最後の項は、回転の加速度による見かけの力となる。

座標軸が等速運動であるなら、第二項や第5項は無視できる。

8-7

地球に当てはめて運動方程式を調べた。
地表での、地球の運動を考慮に入れた運動方程式は

m*d^2x/dt^2 = X + 2*m*ω*sinλ*dy/dt
m*d^2y/dt^2 = Y - 2*m*ω*(sinλ*dx/dt+cosλ*dz/dt)
m*d^2z/dt^2 = Z -mg + 2*m*ω*cosλ*dy/dt

である。x,y,z成分についての運動方程式である。
これを用いると、例えば高い塔の上から落とした物体が塔の真下より少しずれて落ちることなどがわかる。

わからないところ

8-6
問題がやばい。
正直質点の管中速度の式がどこから出てきたか分からん。

8-7
最後の方とか計算式が複雑で多少飛ばしてる。多分合ってると思うんだけど、微妙に不安。
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