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力学その2

力学 岩波書店
3-5 2次元の運動

一次元と違い、x方向とy方向に力を分けて考える必要がある。
この時、x向きの力とy向きの力が別々に加わっているならば、何も関係なくそれぞれの運動方程式を解けばよい。

放物運動を考える。
投げている最中に掛かる力は、下向きの重力のみ。なので
x方向には m*d^2x/dt^2=0
y方向には m*d^2y/dt^2=-mg

つまりx向きは等速運動、y向きは等加速度運動であり、
x = x_0+v_x_0*t
y = y_0+v_y_0*t-1/2*gt^2

のいつもの式である
初期値についても、v_0をx成分とy成分に分解するいつものsin,cosとなり
最終的には

y - v_y_0^2/2g = -g/2v_x_0^2*(x - v_x_0*v_y_0/h)^2という放物線の式になる。


次に空気抵抗を考える。今回は速度に比例する抵抗とする。
比例係数をβとすると、-βmv_x,-βmv_y-mgが、それぞれの成分への抵抗力となるため
運動方程式は

m*d^2x/dt^2=-βmv_x
m*d^2y/dt^2=-βmv_y-mg

x方向の運動は、一回積分で速度を見れば
v_x = v_x_0*e^-βt
さらに積分して変位を見れば
x = v_x_0/β(1-e^-βt) ……(t=0でx=0)と仮定

y方向の運動もほぼ同じ計算で、速度は
v_y = (v_y_0+g/β)*e^-βt - g/β
変位は
y = -g/β*t+1/β(v_y_0+g/β)*(1-e^-βt)

tが大きくなればv_xは0になり、v_yは-β/gとなる。

問題3-5-1
放物線の最高点の速度
最高点なのでy方向は0,x方向は等速運動なのでいつだってv_x = v0cosθ_0


3-6 円運動

円の運動なんだからsinとcosで表す。sinとcosのパラメータは円の半径rと角度φ
円の公式 x^2+t^2=r^2 で、 x = rcosφ,y = rsinφ

この時角度を変位とする速度 dr/dt=ωとし、角速度という。
等速円運動では角速度は一定なのでφ = ωt+φ_0
これを用いてx = rcos(ωt+φ0),y = rsin(ωt+φ0)となる。
tで二回微分すればx'' = -ω^2*rcos(ωt+φ0), y''= -ω^2*rsin(ωt+φ0)となる。
つまりこれは

d^2x/dt = -ω^2*x, d^2y/dt^2 = -ω^2*yであり、単振動の式である。

ここで力Fについて考えればx方向の力はfcosφ,y方向の力はfsinφである。
また、f_x^2+f_y^2 = f^2より f = sqrt((-mω^2x)^2+(-mω^2y)^2) = -mω^2rである。
この力は円周と中心を最短で結ぶ線の上にあり、円の中心に向かう力である。

実際に円運動しているとき、円周上からずれないのは、向心力とつりあう見かけの力、遠心力が働いていると考えることが出来る。

ma_x = -mω^2xから、x方向の加速度a_x=-ω^x=-ω^2*rcosφ,y方向はa_y=-ω^2*rsinφであり、a = -ω^2*rである。
円周上の運動速度v = ωrであるため、a = -v^2/r,f = -mv^2/rと表すことが出来る。


円錐振り子を考える。紐の垂直に対する傾きをθ、円の半径をrとすると、物体には紐の張力Sと重力が働いているとする。
向心力fは重力mgもしくはSで表せば、f = -Ssinθ = -mg*tanθ
f = -mω^2*r = -mg*tanθから

ω^2*r = g*tanθ

円の半径rは紐の長さlによってl*sinθ友止まるので

ω^2*l*sinθ = g tanθ

ω^2 = g/(l*sinθ)と、紐の長さと傾きのみの式で角速度が導出される。

問題3-6-1+2

x = r*cos(ωt),y = r*sin(ωr)で表される円運動の速度と加速度のそれぞれの成分を求めよ

多分そのまま各成分を微分するだけでいいんじゃないの

v_x = -ω*r*sin(ωt),v_y = ω*r*cos(ωt)
a_x = -ω^2*r*cos(ωt) , a_y = -ω^2*r*sin(ωt)


まとめ

放物運動など、外部からしか力がかからないなら容易に分解可能。
2次元運動の導入なのでほとんど難しいところはない。これが複雑な挙動になればなるほど難しくなっていくのだろう。


今日の分からないところ
特に無し

雑感。問題とその意図が未だ分かっていない場合が多い。どんな値が欲しいのかわかるようになれば解けるだろう。
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