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制御工学その2

2 動的システムのモデル



あるシステムを数学モデルで表現する際の代表的なものに伝達関数がある。
ここでは、電気系と力学系に的を絞りシステムのモデルを伝達関数で表す

2-1 動的システムとは



シーソーについて考える。梁のしなりが全くない場合、片方に正弦波の入力を与えると、もう片方は振幅は違えど、同じ周波数、同じ位相の正弦波となる。
このようなシステムを静的システムという。
しかし、梁にしなりがある場合、片方に正弦波が与えられた時のもう片方は周波数は同じであるが、違う位相を取る。
また、この位相は入力側の周波数によって決まり、また入力と出力の振幅の比は、入力周波数によって決まる。
このようなシステムを動的システムという。

多くの動的システムでは、入力の周波数が大きくなるにつれ、出力の振幅は小さくなり、位相の遅れは大きくなる。

2-2 動的システムのモデル



2-2-1 線形微分方程式



システムへの入力をu(t),システムの出力をy(t)とすると、多くの動的システムは

a_n*d^n(y(t))/dt^n + a_n1*d^(n-1)(y(t))/dt^(n-1) + ... + a_0*y(t) = b_m*d^m(u(t))/dt + ... + b_0*u(t)

という式で表すことが出来る。これはn階線形微分方程式である。多くの場合n≧mである。

2-2-2 ラプラス変換



t>0で区分的に連続な信号を考える。この時、あるsに対して、

int[0-∞]{f(t)*e^-st}dt

が収束するとき、f(t)のラプラス変換という。
ラプラス変換を以下に定義する

F(s) = L[f(t)] = int[0-∞]{f(t)*e^-st}dt

ここでsはラプラス演算子と言われる複素数である。
ラプラス変換を利用すると、信号f(t)の時間微分や時間積分が非常に簡単に表せる。

それは、初期値が全て0の時、

L[d^nf(t)/dt] = s^n*F(s)  (時間微分)

L[int[0-t]{f(t)}dt] = 1/s*F(s)  (時間積分)

となることである。
すなわち、sは時間微分一回、1/sは時間積分一回の演算子として考えることが出来る。

また、ラプラス変換は線形性を持つ。つまり

L[c1*f(t) + c2*g(t)] = c1*L[f(t)] + c2*L[g(t)]

である。したがって動的モデルの式

a_n*d^n(y(t))/dt^n + a_n1*d^(n-1)(y(t))/dt^(n-1) + ... + a_0*y(t) = b_m*d^m(u(t))/dt + ... + b_0*u(t)

をラプラス変換すると

a_n*s^n*Y(s) + ... a_0*Y(s) = b_m*s^m*U(s) + ... b_0*U(s)

となる。ここで、U(s)からY(s)へ変換する関数、つまり

P(s) = Y(s)/U(s)

をU(s)からY(s)への伝達関数という。なお、n≧mの時プロパーであるといい、さらにn>mの時、厳密にプロパーであるという。

これを用いると、動的システムの伝達関数は

Y(s) = U(s)*P(s)

となる。先の式を用いて実際に当てはめると


P(s) = K*(s-z_1)(s-z_2)...(s-z_m)/(s-p_1)...(s-p_n)

と書ける。この時、z_1...z_mはU(s)の係数となるm次方程式のm個の解であり、p_1..p_nはY(s)の係数となる方程式の解である。
また、z_iを零点、p_iを極、Kをゲインという。
あとの章で述べるように、極や零点はシステムの振る舞いを大きく左右する。

問題2-1

線形微分方程式からラプラス変換を用いて伝達関数を求める。

y'(t) + 2*y(t) = u(t)

ラプラス変換すると

s*Y(s) + 2*Y(s) = U(s) = (s+2)*Y(s) = U(s)

伝達関数は

P(s) = Y(s)/U(s) = 1/(s+2)

よって極は-2、零点なし



3*y''(t) + 2*y'(t) + y(t) = 2*u'(t) + u(t)

ラプラス変換すると

3*s^2*Y(s) + 2*s*Y(s) + Y(s) = 2*s*U(s) + U(s) = (3s^2+2s+1)*Y(s) = (2s+1)*U(s)

伝達関数は

P(s) = (2s+1)/(3s^2+2s+1)

零点は-1/2

極は-2±sqrt(-8)/6 = -(1±sqrt(2i))/3


まとめ

静的システムと動的システムについて

入力周波数と出力周波数の位相が一定なのが静的システム
入力周波数に出力周波数の振幅と位相が依存しているのが動的システム

動的システムは、線形微分方程式で数学的に表すことが出来る。
また、線形微分方程式の演算を行うのにラプラス変換が便利。
ラプラス変換は線形性と単一性を持ち、微分演算に対しsの乗算、積分演算に対し1/sの乗算に変換することが出来、計算が超楽。

わからないところ

いろんなサイトでもそうだし自分でもそう思うけど初期値が0じゃないとラプラス変換後の微分演算に線形性がないよね。
初期値引かないと


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