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力学その3

3-7 2つの単振動の組み合わせ

単振動の運動方程式

m*d^2x/dt^2 = -mω^2x , m*d^2y/dt^2 = -mω^2y

の組み合わせでかけるxy平面の運動を考える。

x = a*cos(ωt+φ_1) , y = b*cos(ωt+φ_2)である。
これらのような周期が等しい場合、大抵の場合楕円運動になる。

φ_1=φ_2=0,φ_1=0, φ_2=πなど、位相が綺麗にずれてる場合は、直線運動となる。

位相が微妙にずれている場合、楕円運動である。


2つの単振動の周期が異なっている場合、楕円にはならず、リサジュー図形と呼ばれる複雑な曲線になる。
この時、2つの周期の差が有理数の比なら、リサジュー図形は閉曲線になる。そりゃそうだ。


3-8

仕事と運動エネルギー

運動を理解する際、エネルギーの概念を導入すると理解しやすいことを知った。運動エネルギー+位置エネルギー
エネルギーは運動方程式を積分すると得られる。この事情は2次元、3次元運動でも同様である。

仕事
質点が一定の力Fをうけながら直線上をsだけ動いたとする。この時に動いた方向への力の成分と距離の積を仕事という。
仕事W = F*cosθ*s = F・s (Fとsの内積)

曲線運動について考える。

力と運動方向のなす角θが変化していく場合、微小単位での各仕事を足していく
つまり
W = F_1*cosθ_1*ds_1 + …… + F_n*cosθ_n*ds_n
積分の形に治すと

W = int[A-B]{F*cosθ}ds

となる。これを線積分という。この時AとBは運動の出発点、この範囲内で仕事の和をとったものが線積分である。
変位ベクトルをdrとおくと、長さはdsなので

dW = F*cosθ*ds = F・drとかける。

すると仕事W = int[A-B]{F・dr}となり、これを各成分毎に展開すると

W = int[A-B]{F_x*dx+F_y*dy+F_z*dz}

となる。これは各成分ごとに積分を行っていると考えるとわかりやすい。
ただし、この場合F_x,F_y,F_zをそれぞれ求めなければならない。(と思う。)

各成分の算出まで式に含めると

W = int[A-B]{F_x*dx/ds+F_y*dy/ds+F_z*dz/ds}*ds

とかける。この時dx/ds,dy/ds,dz/dsは軸とdsのなす角との関係なので

dx/ds = cosα dy/ds = cosβ dz/ds = cosγ

となる。それぞれを線分dsの方向余弦(方向コサイン)という。

ユークリッド距離定義より

ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 なので

ds^2 = ds^2*cos^2α +ds^2*cos^2β + ds^2*cos^2γ

1 = cos^2α + cos^2β + cos^2γ

である。

運動エネルギーと関連付けることを考える。
平面内の運動方程式は

m*d^2x/dt^2 = F_x , m*d^2y/dt^2 = F_y

である。
これにdx/dt*dt = dx , dy/dt*dt = dy
をかけて、2つを足しあわせると

m(dx/dt*d^2x/dt^2 + dy/dt*d^2y/dt^2)*dt = F_x*dx + F_y*dy

となる。
速度の2乗で表すと

d/dt(1/2*mv^2)dt = F_x*dx + F_y*dy

これを地点AからBまで積分すると右辺は仕事になるので

1/2*mv_B^2 - 1/2*mv^A = W

となる。ここで、v_A,b_Bはその地点での速度であり、運動エネルギーのAからBまでの増分がその力の働いた仕事Wと等しい事がわかる。ここ大事!



極座標の話

2次元の極座標(r,φ)の時

1/2*mv^2 = 1/2*m*((dr/dt)^2+r^2*(dφ/dt)^2)となることを示す


微小時間後の座標は、微小単位に動いた分を足すと

座標(r+dr,φ+dφ)となる

この時、r,φからr+dr,φ+dφまでの距離Xについて

ユークリッド距離から r*dφ^2 + (dr)^2 = X^2となる

(r,dφ)での速度をvとすると、dt後、(r+dr,φ+dφ)までの変位X = vdtとなるので

v = X/dt となる。

よって v^2 = X^2/dt^2 = r^2*(dφ/dt)^2 + (dr/dt)^2となる。

これは最初の式と同じ関係である。





3-9 力のポテンシャルとエネルギーの保存

原点からの距離rの二乗に反比例するような力が働く場合を考える。
これは太陽の周りを回る惑星等の場合である。
この時力の式は

F = μ/r^2

であるとする。
この時F_x = F*cosφ (ここでcosφはx/r) , F_y = F*sinφ (sinφはy/r)となるため

F_x = μ/r^2 * x/r = μ*x/r^3 , F_y = μ/r^2 * y/r = μ*y/r^3

となる。


x^2 + y^2 = r^2 の逆数をとって

1/r = 1/(x^2+y^2)^1/2を考える ……この式どっから思いつくの?

これをxで偏微分すると

∂/∂x(1/r) = -x/(x^2+y^2)^2/3 = -x/r^3

同様にyで偏微分すると

∂/∂y(1/r) = -y/(x^2+y^2)^2/3 = -y/r^3

したがって U = μ/rとすれば

F_x = -∂U/∂x , F_y = -∂U/∂y

によって導かれる。また魔法っぽい。
rに反比例するばかりではなく、ある関数Uの微係数によって力が導かれる場合、関数Uをこの力のポテンシャル(位置エネルギー)という。


仕事の式 W = F・drとおくと

F_xとF_y置き換えて

W = -int[A-B]{∂U/∂x*dx + ∂U/∂y*dy}となる

この時

∂U/∂x*dx + ∂U/∂y*dy

はdx,dyのときのUの変化量であるため

int[A-B]{∂U/∂x*dx + ∂U/∂y*dy}は
Uの変化量である。
つまり

int[A-B]{∂U/∂x*dx + ∂U/∂y*dy} = U_B - U_A

である。

したがって仕事 W = -(U_B-U_A)である。……式1

3次でも同様であり、力の成分それぞれがただ一つの関数U(x,y,z)によって導かれるときこの力は保存力であるという。……ここ大事!
保存力Fに対してAからBまで積分した場合、式1が成り立つ。
すなわち、積分int{F・dr}が出発点と終点の位置だけでもとまるなら、力Fは保存力である。
これを示す。

基準点OからPまでの積分を考えると
int[P] = -U_P(+0)と書ける。
するとint[A-B] = int{B-0] - int[A-0]であるため
int[A-B] = -U_B - (-U_A) = -(U_B-U_A)

またAとBの距離drをすごく小さい⊿rとおくと、

int[A-B]F・dr = F・⊿r = F_x*⊿x + F_y*⊿y + F_z*⊿z

他方で

U_B-U_A = ∂U/∂x*dx + ∂U/∂y*dy + ∂U/∂z*dz

であるため、それぞれの成分の係数は等しく

F_x = -∂U/∂x , F_y = -∂U/∂y , F_z = -∂U/∂z

となるため、これは保存力である。


エネルギー保存則

速度と仕事の式

1/2*mv_B^2 - 1/2*mv^A = W

にUの式を当てはめると

1/2*mv_B^2 - 1/2*mv^A = -(U_B - U_A)

移動して

1/2*mv_B^2 + U_B= 1/2*mv^A + U_A

をえる。これはA点で与えられたエネルギーがB点でも変化しないことを表す。
これを力学的エネルギー保存則という。

力はベクトルなので成分が多くメンドクサイが、ポテンシャル(位置エネルギー)はスカラーなので扱いやすい。
また、2つの保存力のポテンシャルをU1,U2とし、それぞれの力をF1_xなどとおくと

F1_x = -∂U1/∂x , F2_x = -∂U2/∂x

とすると、ポテンシャルの和

U = U1 + U2は

F1_x + F2_x = -∂U/∂x

と置くことが出来る。
このように、保存力がたくさんある場合、それらのポテンシャルの合計は単純にU(1)……U(x)を足し合わせればよいので非常に楽。……ここ大事!

これは、地球のように広がった物体の各部分が万有引力の原因になるとき、全体が作る力を求めるののに都合がいい。


問題3-9-1
F_x = -∂U/δxなので、∂F_x/∂y = -∂/∂y(-∂U/δx) = ∂^2U/∂x∂y
同様に
F_y = -∂U/δyから、∂F_y/∂x = -∂/∂x(-∂U/δy) = ∂^2U/∂x∂y
よって等しい。

問題3-9-2
上記の式を使う。


(1)はF_x = axy , F_y = 1/2*ax^2
それぞれ残ってる成分で偏微分すると

∂F_x/∂y = ax , ∂F_y/∂x = axより 等しいので保存力。これ論理展開おかしくね?
また、ポテンシャルUはF_xをxで積分して 1/2*ax^2

(2)はF_x = axy , F_y = byで

∂F_x/∂y = ax , ∂F_y/∂x = 0より保存力ではない。



今日の分からないところ

3-8

線積分の扱い方について、今回の場合はそれぞれ積分するという考え方でいいのだろうか?
また、3.140の積分もvがtの関数であることと関係なしにAやBという地点での速度に飛んでいるのは大丈夫なのか?

3-9

偏微分とポテンシャルへ至る計算途中の
1/r = 1/(x^2+y^2)^1/2を偏微分するとうまいことそれぞれの成分の力と噛み合うって
どうやって思いついてんの?
実際には定理から実際に行くからわからなくても問題ないのだろうか?


問題3-9-2は論理的に大丈夫なのか?
A⇒BはB⇒Aじゃない気がするのに


まとめ
3-8
力×運動量の仕事の話があった。また、曲線の場合は各成分を線積分すると上手くいく。また仕事は運動エネルギーの変化分に等しいものである。

3-9
位置のみで決まる力を考える。つまり位置を引数とする関数で力が決定されるということである。
この時、Uの微係数が力Fとなるような関数U(x,y,z)をポテンシャルという。
さらに、一つの関数U(x,y,z)の微係数によって力が定まる場合、保存力という。
これはつまり、位置のみによって力が定まり、仕事が関数Uの変化量と等しいということである。
それはつまり、ある点からある点へ移動したとき、仕事の量に経路が関係ないということである。

また、このとき仕事Wはポテンシャルの変化と等しくなる。
ここからエネルギーの式に代入すると

1/2*mv_B^2 + U_B= 1/2*mv^A + U_A

となる。これは運動全体でエネルギーの変化が起こらないことを示す。
また、仕事とはつまりエネルギーの分配具合そのものと言える。

大分難しくなってきた。ページ単位でペースが維持できればいいけど、難しいなら一単元に絞ってじっくり考えたほうがいいかも。
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