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力学その4

4 惑星の運動と中心力

4-1 ケプラーの法則

いわゆるケプラーの法則
1.惑星は太陽を焦点の一つとする楕円運動をする。
2.太陽と惑星を結ぶ直線が一定時間動いたことによる面積は同じである。
3.惑星が太陽の周りを回る周期の2乗は、楕円軌道の長半径の3乗に比例する。


地球と月の運動について考える。

地上に働く重力はgである。月は地上の60倍離れているらしいので、重力は距離の2乗に反比例すると仮定して
月に働く地球の重力は

f = mg/(60^2)

これが月の運動の向心力と一致しているはずなので、月と地球の距離R ……これって60倍うんぬんの話じゃないの?
と角速度ωを使うと

f = mRω^2 = mg/(60^2)

ここからω = 1/60*sqrt(g/R)となる。

また周期 T = 2π/ω = 60*sqrt(R/g) * 2π = 120π * sqrt(R/g)

Rとgを実際の値で確かめると、R = 3.84*10^8m , g=9.8m/s^2であり
T = 27.3日と非常にいい値になる。

問題4-1-1

地球は 1 : 1 なので周期T^2 / 半径AU^3 = 1に近づくはず。

例えば金星なら T^2 / AU^3 = 0.61^2 / 0.72^3 = 0.996924297
海王星なら T^2 / AU^3 = 164.8^2 / 30.1^3 = 0.995898155

よって成り立ってると言えるだろう。

問題4-1-2
200kmとか500kmくらいなら重力係数は1でいいのか。だめ

地球の半径をR,地上から衛星までの距離をH、地球の質量をMとすると

衛星に働く力 f = mG/(R+H)^2
衛生の向心力 f = mω^2*(R+H)
ω^2 = G/(R+H)^3

ここでG =MG       ……これなに?Gってどっからでてきたの説明なさすぎ

よって周期 T = 2π/ω = 2π*sqrt((R+H)^3/MG)
んで g = MG/R^2
これ重力の計算してるんだと思うけどいまいちつかめない。なにこれ

ここからT = 2π*sqrt((R+H)^3/g*R^2)
R = 6371km,g=9.8m/s^2 , H が200kmと500kmの時のTを計算すれば良い。

H = 200kmのときT = (((((6 371 000 + 200 000)^3) / (9.8 * (6 371 000^2)))^(1 / 2)) * 2 * π) / 3600 = 1.47402186時間

H = 500kmの時 T = (((((6 371 000 + 500 000)^3) / (9.8 * (6 371 000^2)))^(1 / 2)) * 2 * π) / 3600 = 1.57611045

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問題4-1-3

高度が低い = 地球半径と仮定すると
v = 2πR/Tより算出

先の式よりT = 1.40
R = 6371なので

v = 2*π*6371/1.4 / 3600 = 7.94249476km/s

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4-2 円・楕円・放物線・双曲線

円錐をいろんな場所出来ると、切り口に円・楕円・放物線・双曲線が現れる。
このため、これらの曲線を円錐曲線という。

アポロニウス曰く、2定点からの距離の和が一定の曲線は楕円で、距離の差が一定の曲線は双曲線である。ここから出発する。
この2定点を焦点と呼ぶ。

楕円について考える

原点から焦点までの距離をcとし、楕円状のある一般点(x,y)までの距離をそれぞれr,r'とすると

r^2 = (x-c)^2 + y^2
r'^2 = (x+c)^2 + y^2

となる。

r+r'は一定値(ここでは2aとおく)であるので、

sqrt((x-c)^2 + y^2) + sqrt((x+c)^2 + y^2) = 2a

である。
これをひたすら計算してルートを外すと

(a^2-c^2)x^2 + a^2y^2 = a^2(a^2-c^2)

ここで (a^2-c^2) = b^2 とすれば

x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

となる。どこかでみた楕円の式である。
焦点について

c^2 = a^2 - b^2

である。

また c/a = sqrt(a^2-b^2)/a

を離心率εという。これは焦点がどの程度長軸半径から離れているかを表す。

また極座標を用いると

cos(180-θ) = -cosθから

r'^2 = sqrt(r^2 + (2c)^2 + 2*2c*r*cosφ)

となる。

r' = 2a - r

を代入し、両辺を2乗すると

(2a-r)^2 = r^2 + 4c^2 + 4cr*cosφ

4a^2 - 4ar + r^2 = r^2 + 4c^2 + 4cr*cosφ

b^2 = r(a+c*cosφ)

となる。ここで

l = b^2/aとおけば

r = l/(1+ε*cosφ)

という式ができる。

aとbをはεとlで表すことができ、

a = l/(1-ε^2) , b = l/sqrt(1-ε^2)である。

この時lを半直弦という。


楕円と円

楕円の方程式は

x^2 + (a^2/b^2)*y^2 = a^2ともかける。

これは円をy方向にb/a分だけ長さを変えたものと見ることが出来る。


座標上の関係を示すと

長軸半径aの楕円上の点Pをそのまま上の動かしたものを
半径aの円上の点Qとすると
Qとx軸の角度をθとし、
点Pの座標は

x = a*cosθ
y = a*sinθ*b/a = bsinθ

となる。

ここでc = aε
点Pと焦点の間の距離rは

r^2 = (c-x)^2 + y^2

c,x,yを代入して

r^2 = a^2(1-2*ε*cosθ+ε^2cos^2θ)

r^2 = a^2(1-ε*cosθ)^2

r = a(1-ε*cosθ)

と書くことが出来る。




双曲線について

楕円と同じく

r' - r = 2aとして与えられるので

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

あるいは

r'^2 = sqrt(r^2 + (2c)^2 + 2*2c*r*cosφ)



r' = 2a + r

を代入し

4a^2 + 4ar + r^2 = r^2 + 4c^2 + 4cr*cosφ

b^2 = r(-a+c*cosφ)

r = l/(1-εcosφ) ……符号が反転している……何故?絶対値だから?


放物線について

放物線は楕円と双曲線のある極限の集合とすることが出来る。
円錐の錐部分の接平面と平行にカットすれば、切り口は放物線になる。
傾きが大きければ双曲線、小さければ楕円である。

楕円を考える。近日点を原点として考えると楕円の式は

(x+a)^2/a^2 + y^2/b^2 = 1

書き直すと

x^2/a + 2x + a/(b^2)*y^2 = 0

yの係数a/b^2 = 定数2/kとし
aを無限大にすれば

(2/k)*y^2 +2x = 0

y^2 = -kx

という式になる。つまりこれは、yの係数を固定したままxの係数を無限に大きくしており
つまり横長にしているのである。このとき、楕円は放物線になる。
同じように双曲線も無限に細長くすれば放物線になる。

問題4-2-1

楕円軌道の途中で地面にぶつかるからじゃねーの

問題4-2-2

放物線の式

x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

について

(x+a)^2/a^2 - y^2/b^2 = 1

とし、展開すると

x^2/a^2 + 2x/a + 1 - y^2/b^2 = 1

aを掛けて

x^2/a + 2x -y^2/b^2*a = 0

楕円と同じようにすると

2x - y^2*(2/k) = 0
y^2 = kx

で放物線となる。


まとめ

4-1
惑星は楕円軌道である。
ケプラーの法則で成り立つような関係が成り立つ。
また、力の釣り合いを考えるときに、地球の中心からの距離で考えると都合がいい。

4-2
円錐の切り口に現れる曲線を考えた。楕円と双曲線はそれぞれ非常に似ている。極座標で表したときなど、同じような係数を持つ。
一般的には楕円の式は
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
極座標を用いると
r = l/(1+ε*cosφ) ……ε = c/a : 離心率である。
また同じ半径を持つ円との比較として
r = a(1-εcosθ)
と書く事もできる。

双曲線も同じように一般的には
x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1
極座標を用いると
r = l/(1-ε*cosφ) ……疑問点
となる。

また、放物線は楕円や双曲線のある極限である。具体的には無限に細長くした時などに現れる。



今日の分からないところ

4-1

問題4-2に置いて、突然現れたGMってなあに?

4-2

双曲線の式を楕円と同じように極座標で表そうとすると符号が反転してるんだけどどういうこと?


感想

高校でやったような楕円・双曲線について、極座標などの表し方を確認している。計算も未だ簡単なので大丈夫。
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