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力学その5

4-3 中心力と平面極座標

太陽は、惑星全体と比べても非常に質量が大きいので、惑星の運動を考察する際に太陽は不動と考えていい。
ここの惑星間の万有引力なんてすごい小さいから無視してもいい。
つまり、惑星の運動のとき、惑星に力を与えているのは太陽の引力だけである。
このように、力が中心の一点へ向きその点からの距離で表されるとき、これを中心力という。

ひとつの中心力を受けての運動の特徴は、それが力の中心を含む1平面にあることである。
これは、中心力がいつでも中心のみの力であるからである ……かな?

一つの平面上にある運動は、平面極座標で表現できる。
つまり、半径r,角度φとして、

x = r*cosφ , y = r*sinφ

である。
これをtで微分すると

dx/dt = dr/dt*cosφ - r*dφ/dt*sinφ = v_x

dy/dt = dr/dt*sinφ + r*dφ/dt*cosφ = v_y

となり、速度になる。ここは積の微分 (f(x)g(x))' = f'(x)g(x)+f(x)g'(x)と、合成関数微分 f(g(x))' = f'(g(x))g'(x)より算出

また、さらにtで微分すれば

dv_x/dt = d^2r/dt^2*cosφ - 2*(dr/d)t*(dφ/dt)sinφ - r*(dφ/dt)^2*cosφ - r*(d^2φ/dt^2)*sinφ

dv_y/dt = d^2r/dt^2*sinφ + 2*(dr/d)t*(dφ/dt)cosφ - r*(dφ/dt)^2*sinφ + r*(d^2φ/dt^2)*cosφ

となる。簡略化のため、これ以降d/dtを’で表す。dr/dt = r'である。

他方で中心力の大きさをf(r)とする。
運動方程式より

x,y各成分の力はf_x = f(r)cosφ,f_y = f(r)sinφなので

m*dv_x/dt = f(r)cosφ

m*dv_y/dt = f(r)sinφ

この二つの式をくっつけると cos^2 + sin^2 = 1なのを利用して

m(dv_x/dt*cosφ+dv_y/dt*sinφ) = f(r)

m(dv_x/dt*sinφ-dv_y/dt*cosφ) = 0

が得られる。先の長い式を用いてこの式を書き直すと

m(r''-r*φ'^2) = f(r)

m(2r'φ+rφ'') = 0

第一式は動径r方向の運動方程式であり、左辺第二項は遠心力を表している。
第二式は方位角φ方向の運動方程式と考えられるが、これをmで割ってrをかけると

2r'*r*φ' + r^2φ'' = 0

= (r^2)'φ' + r^2φ''

これは積の微分の式であるから

d(r^2*φ')/dt = 0

となる。
これをtで積分すれば、左辺の微分が消え

r^2*φ' = h (hは積分定数で一定)

となり、r^2φ'は時間によらない。


このとき1/2*hを面積速度といい、時間によらずに一定であるという式が導かれた。 面積との関連は略
これを面積の定理という。
これはケプラーの第二法則であるが、軌道が楕円か双曲線かによらず、中心力そのもののの著しい特徴である。……ここ大事!

r方向の変化をえるため運動方程式

m(r''-r*φ'^2) = f(r) に面積速度の式を代入する。

すると

m(r''-h^2/r^3) = f(r)

となる。これを解けばrの時間に関する関数をえることが出来る。


運動エネルギー

運動エネルギー 1/2*m*v^2を得たい。

v^2 = v_x^2 + v_y^2であるので、

dx/dt = dr/dt*cosφ - r*dφ/dt*sinφ = v_x

dy/dt = dr/dt*sinφ + r*dφ/dt*cosφ = v_y

上の2式を使うと

K = 1/2*m*(r'^2+r^2φ'^2)

となる。

ここで実際の運動を考えてみる。
ある点からdtだけ時間が経過したとき、r方向にはdr分進んでいるとする。
そのときφ方向にはr*dφだけ進んでいるので
r方向の速度は dr/dt,φ方向への速度はr*dφ/dtである。
これをv_r,v_φとすれば

Kの式は

1/2*m*(v_r^2+v_φ^2) = K

となる。

中心力がある関数U(r)から

f(r) = -dU(r)/dr

として導かれるとき、このU(r)をポテンシャル、位置エネルギーという。

問題4-3-1

長さrの時の力f(r)に対し
力fは(x,y)に平行なのでf = t(x,y)

r : f(r) = (x,y) : f
より
f = f(r)(x,y)/r

本当かこれ?わけわからんくなってきた?


4-4 ケプラーの法則から引力を求めること

ケプラーの第一法則からすると、惑星の軌道は楕円である。
そこで楕円の式

l/r = 1+ε*cosφ

これは動径rと角φの式である。

これをtで微分すると

1/r = x とすると
dr/dt*dx/drで
dr/dx = -1/r^2
なので

-(l/r^2)*r' = -ε*sinφ*φ'

となる。

r^2*φ' = h

を用いて書き直すと

r' = (ε*h*sinφ)/l

である。

さらに微分すると
r'' = (ε*h*cosφ)*φ'/l

φ'を消して

r'' = h^2*ε*cosφ/(l*r^2)

ここで

l/r = 1+ε*cosφ

を用いれば

r'' = h^2/r^3 - h^2/lr^2

hは面積速度、rは距離、lは楕円の形によって決まる。

これを運動方程式

m(r''-h^2/r^3) = f(r)

に代入すると

m(-h^2/lr^2) = f(r)

とさっぱりした式になる。
ここから、太陽までの距離rの二乗に反比例する力を受けていることが分る。
また、質量m、面積速度*2のh、軌道の形に関する定数lは惑星によって異なるため、
力f(r)も惑星によって異なるようにみえる。

太陽の引力が普遍的にであることは、次のケプラー第3法則から示される。
ケプラー第3法則は惑星の周期Tと軌道の長軸半径aとの間に立つ関係である。

周期Tは面積Aを面積速度h/2で割れば出てくるのでA/(h/2)、
楕円の面積Aはπabなので

T = 2πab/h

第3法則によれば、周期の2乗は長軸半径の3乗に比例するので

T^2 = c*a^3

この時、cはすべての惑星に共通な定数である。

a,bをlとεで表せば、

ab = l^2/((1-ε^2)^(3/2)*h)

となるから

T = 2πl^2/((1-ε^2)^(3/2)*h)

となる。

T^2 = c*a^3にぶち込むと

4π^2*l^4/((1-ε^2)^3*h^2) = c*l^3/(1-ε^2)^3

となり、結局

4π^2*l/h^2 = c

が出てくる。
ここから、h^2/lは惑星によらない定数4π^2/cであるのでf(r)の式は

f(r) = -4π^2m/cr^2

である。これは、距離rの2乗に反比例し、と質量mに比例する力である。

太陽が惑星に力を与えれば、作用反作用則で惑星も太陽に力を与える。
そして、この力が惑星の質量に比例するなら、これは質量による力である。
したがって、太陽の質量にも比例していなければならない。
そこで、太陽と惑星が引きあう力をGを比例定数として

f(r) = -G*mM/r^2

ここで、mを惑星、Mを太陽の質量とする。
これを万有引力という。

ここで、比例定数Gは万有引力定数として、実験により求められている。

G = 6.672*10^-11 N*m^2/kg^2

である。

ここで、U(r) = -GmM/r^2 (f(r)の積分)
とおけば、万有引力はf(r) = -dU/drで求められるため、

U(r) = -GmM/r^2は万有引力のポテンシャルである。

実際に大きさを持つ2つの物体間の万有引力を求めるには、物体を小さな部分に分けて2物体相互の合力を求めなければならない。
もしくは、相互間のポテンシャルの総和を求めなければならない。
物体が一様であるか、中心からの距離の関数であるような球形の物体同士なら、万有引力は中心に集まったと考えて計算すればいいことがわかっている。

普通の物体では万有引力は非常に小さい。
しかしどちらかが地球のように大きければ、万有引力は重力程度になる。
しかし、微小な重力の違いを測定して地下の様子を詳しく知る技術も進化している。


問題4-4-1

平均密度 = 重さ/体積 = M/(4/3*π*Re^3) = 3M/4πRe^3
月の周期
T = 2π*sqrt(r^3/GM)

Mについて解いて、密度式に放り込むと  ……ここを思いつかない

d = (3π/G)*(r/Re)^3/T^2

数値を放り込むと
r/Re = 60,T = 27,3*24*60*60なので

d = 3π*60^3/6.67*10^-11*27,3*24*60*60 = 5.5*10^3 kg/m^3 = 5.5g/cm^3

問題4-4-2

g = GM/Re^2       ……ここも絶対思いつかない

G*d*4π/3*Re=g

Re =3g/4πGd

放りこむと、3*9.98/4*π*6.67*10^-11*5.5 = 6.49461496 × 10^9

= 6494Km

google先生大活躍


今日のわからないところ

問題がやばい。解けないというか思いつかない。訓練あるのみなのか?
今まで出てきた値のみの式に置き換える方向で何とかすればいいのか。ノート必須。

中心力と1平面の関係に関する部分も確認が必要か。


感想

実計算のときは単位合わせがほんとうに非常に重要なので、Gやgなどの定数の単位をいつでも取り出せるようにしておくことが大事
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